[论文解读] Dominator Tree Certification and Independent Spanning Trees

Loukas Georgiadis, Robert E. Tarjan|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2012

Advanced Database Systems and Queries参考文献 54被引用 15

一句话总结

本文通过引入一种正确性证明证书，提出了一种流图中支配树的线性时间验证器，实现了对树结构准确性的高效验证。同时，该文还开发了基于low-high顺序构建独立生成树的算法，应用于顶点不相交路径问题，所有算法均在时间复杂度为线性的前提下运行，优于以往的二次时间方法。

ABSTRACT

How does one verify that the output of a complicated program is correct? One can formally prove that the program is correct, but this may be beyond the power of existing methods. Alternatively one can check that the output produced for a particular input satisfies the desired input-output relation, by running a checker on the input-output pair. Then one only needs to prove the correctness of the checker. But for some problems even such a checker may be too complicated to formally verify. There is a third alternative: augment the original program to produce not only an output but also a correctness certificate, with the property that a very simple program (whose correctness is easy to prove) can use the certificate to verify that the input-output pair satisfies the desired input-output relation. We consider the following important instance of this general question: How does one verify that the dominator tree of a flow graph is correct? Existing fast algorithms for finding dominators are complicated, and even verifying the correctness of a dominator tree in the absence of additional information seems complicated. We define a correctness certificate for a dominator tree, show how to use it to easily verify the correctness of the tree, and show how to augment fast dominator-finding algorithms so that they produce a correctness certificate. We also relate the dominator certificate problem to the problem of finding independent spanning trees in a flow graph, and we develop algorithms to find such trees. All our algorithms run in linear time. Previous algorithms apply just to the special case of only trivial dominators, and they take at least quadratic time.

研究动机与目标

• 为解决在流图中验证快速但复杂的支配树算法正确性的挑战。
• 设计一种简单、高效的验证器，通过正确性证明证书验证支配树，避免对原始算法进行形式化验证。
• 将支配树的验证与独立生成树的构建联系起来，以解决顶点不相交路径问题。
• 开发计算支配树与独立生成树的线性时间算法，优于以往的二次时间方法。
• 探索支配树的low-high顺序与强独立生成树构造之间的关系。

提出的方法

• 引入支配树的正确性证明证书，使简单、线性时间的验证器能够验证树的准确性。
• 扩展快速支配树查找算法，使其在输出支配树的同时也输出该证书，确保正确性，而无需重新运行复杂算法。
• 利用支配树的low-high顺序指导独立生成树的构建，实现顶点不相交路径的高效检测。
• 从支配树和low-high顺序出发，通过构造一个衍生图并利用拓扑排序，构建两棵强独立生成树（蓝色和红色）。
• 通过检查源点是否被起始点的不同子节点所支配，利用所得结构在时间复杂度为线性的前提下解决2-不相交路径问题。
• 使用验证器在时间复杂度为线性的前提下验证支配树算法的输出，其正确性可独立于原始算法证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为支配树构造一种正确性证明证书，使得其有效性可通过简单、易于证明的算法在时间复杂度为线性的前提下验证？
• RQ2 如何将独立生成树的构建与支配树结构及low-high顺序联系起来？
• RQ3 是否可以将增量或迭代的支配树查找算法扩展为同时计算支配树的low-high顺序？
• RQ4 通过所提方法构建的独立生成树是否满足更强的“强独立”性质？
• RQ5 能否通过系统化的算法过程，直接从low-high顺序生成独立生成树？

主要发现

• 本文提出一种基于正确性证明证书的线性时间支配树验证器，实现了对树结构准确性的高效且简便的验证。
• 所提出的验证器运行时间复杂度为线性，避免了对复杂支配树查找算法的形式化验证需求。
• 通过low-high顺序构建独立生成树，可在线性时间复杂度内解决有向图中的2-不相交路径问题。
• 构建独立生成树的算法运行时间复杂度为线性，优于以往的二次时间方法。
• 实验结果表明，该算法构造的树可能具有强独立性，尽管该性质尚未被证明。
• 该方法提供了一种直接替代方案，避免了以往算法中所需的多个中间步骤，如计算最短路径树或额外的图变换。