[논문 리뷰] Doubly Nonnegative Tensors and Completely Positive Tensors

Ziyan Luo, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 29.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 24인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 임의의 차수의 텐서로 이중 비음수성(double nonnegativity)을 일반화하며, 비음수 성분과 비음수 H-고유값을 갖는 이중 비음수 텐서를 정의한다. 모든 양의 코시 텐서가 완전히 양의 정의적(completely positive)임을 증명하고, 비음수 대칭 텐서에서 완전히 양의 정의적임을 검증하기 위한 사전처리된 Fan-Zhou 알고리즘을 제안하며, 특히 홀수 차수의 경우에서 행렬의 유사성에 실패하는 이중 비음수 텐서와 완전히 양의 정의적 텐서의 구조적 차이를 드러낸다.

ABSTRACT

The concept of double nonnegativity of matrices is generalized to doubly nonnegative tensors by means of the nonnegativity of all entries and $H$-eigenvalues. This generalization is defined for tensors of any order (even or odd), while it reduces to the class of nonnegative positive semidefinite tensors in the even order case. We show that many nonnegative structured tensors, which are positive semidefinite in the even order case, are indeed doubly nonnegative as well in the odd order case. As an important subclass of doubly nonnegative tensors, the completely positive tensors are further studied. By using dominance properties for completely positive tensors, we can easily exclude some doubly nonnegative tensors, such as the signless Laplacian tensor of a nonempty $m$-uniform hypergraph with $m\geq 3$, from the class of completely positive tensors. Properties of the doubly nonnegative tensor cone and the completely positive tensor cone are established. Their relation and difference are discussed. These show us a different phenomenon comparing to the matrix case. By employing the proposed properties, more subclasses of these two types of tensors are identified. Particularly, all positive Cauchy tensors with any order are shown to be completely positive. This gives an easily constructible subclass of completely positive tensors, which is significant for the study of completely positive tensor decomposition. A preprocessed Fan-Zhou algorithm is proposed which can efficiently verify the complete positivity of nonnegative symmetric tensors. We also give the solution analysis of tensor complementarity problems with the strongly doubly nonnegative tensor structure.

연구 동기 및 목표

• 임의의 차수(짝수 및 홀수 포함)의 텐서로 이중 비음수성의 개념을 확장한다.
• 특히 홀수 차수의 경우에서 이중 비음수 텐서 쿨과 완전히 양의 정의적 텐서 쿨 사이의 구조적 차이를 규명한다.
• 모든 양의 코시 텐서가 완전히 양의 정의적임을 증명함으로써 완전히 양의 정의적 텐서의 새로운 부분집합을 규명한다.
• 비음수 대칭 텐서에서 완전히 양의 정의적임을 검증하기 위한 효율적인 알고리즘을 개발한다.
• 강력 이중 비음수 텐서 구조 하에서의 텐서 보완 문제(tensor complementarity problem)를 분석한다.

제안 방법

• 모든 성분과 H-고유값이 비음수임을 요구함으로써 텐서로 이중 비음수성의 일반화를 수행한다.
• 일부 이중 비음수 텐서(예: m ≥ 3인 m-균일 초그래프의 부호 없는 라플라시안 텐서)가 완전히 양의 정의적이지 않음을 배제하기 위해 지배성 성질(dominance properties)을 도입한다.
• 스펙트럼 성질과 텐서 분해 이론을 활용하여 이중 비음수 텐서 쿨과 완전히 양의 정의적 텐서 쿨 간의 관계를 수립한다.
• 비음수 대칭 텐서에서 완전히 양의 정의적임을 효율적으로 검증하기 위해 Fan-Zhou 알고리즘의 사전처리된 버전을 제안한다.
• 강력 이중 비음수 텐서 구조 하에서의 텐서 보완 문제 프레임워크를 적용하여 해의 분석을 수행한다.
• 완전히 양의 정의적 텐서 부분집합의 구성 가능성을 보여주기 위해 양의 코시 텐서의 구조를 표준 예시로 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 비음수성의 개념을 임의의 차수의 텐서로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 홀수 차수의 경우에서 이중 비음수 텐서 쿨과 완전히 양의 정의적 텐서 쿨 사이에 어떤 구조적 차이가 존재하는가?
• RQ3 비음수 텐서의 어떤 클래스가 완전히 양의 정의적임을 증명할 수 있으며, 특히 짝수 차수의 양의 준정의성의 경우를 초월하여 어떤 경우가 있는가?
• RQ4 비음수 대칭 텐서에서 완전히 양의 정의적임을 검증하기 위한 효율적인 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ5 강력 이중 비음수 텐서 구조 하에서 텐서 보완 문제의 행동은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 임의의 차수의 모든 양의 코시 텐서는 완전히 양의 정의적임을 보이며, 이는 완전히 양의 정의적 텐서의 쉽게 구성 가능한 부분집합을 제공한다.
• m ≥ 3인 비어 있지 않은 m-균일 초그래프의 부호 없는 라플라시안 텐서는 이중 비음수이지만 완전히 양의 정의적이지 않으며, 이는 행렬의 경우와의 핵심적 차이를 보여준다.
• 홀수 차수의 텐서에서는 이중 비음수 텐서 쿨과 완전히 양의 정의적 텐서 쿨이 상당히 다름을 보이며, 이는 짝수 차수의 경우와는 달리 행렬의 경우에서 특정 조건 하에 일치하는 것과 대비된다.
• 사전처리된 Fan-Zhou 알고리즘은 비음수 대칭 텐서에서 완전히 양의 정의적임을 효율적으로 검증할 수 있도록 한다.
• 강력 이중 비음수 텐서 구조를 가진 텐서 보완 문제는 잘 정의된 해 분석을 허용하며, 기존의 행렬 설정에서의 결과를 확장한다.
• 지배성 성질은 일부 이중 비음수 텐서가 완전히 양의 정의적이지 않음을 배제하는 실용적인 도구를 제공하며, 구조적 특성 규명을 향상시킨다.