[論文レビュー] Duality in generalized Ising models

Franz Wegner|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2014

Theoretical and Computational Physics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多スピン相互作用を伴うイジング模型へのクラマース＝ヴァナーダルの双対性の一般化を行い、局所的秩序パラメータのないような模型が双対性を示すことを示している。4次元のゲージ不変イジング模型が高温でクォーカー閉じ込め（面積則）を示し、低温で脱閉じ込めされたクォーク・グルーオンプラズマ相（周囲則）を示すことが示され、これは量子色力学（QCD）に類似している。

ABSTRACT

This paper rests to a large extend on a paper I wrote some time ago on 'Duality in generalized Ising models and phase transitions without local order parameter'. It deals with Ising models with interactions containing products of more than two spins. In contrast to the old paper I will first give examples before I come to the general statements. Of particular interest is a gauge invariant Ising model in four dimensions. It has important properties in common with models for quantum chromodynamics as developed by Ken Wilson. One phase yields an area law for the Wilson-loop yielding an interaction increasing proportional to the distance and thus corresponding to quark-confinement. The other phase yields a perimeter law allowing for a quark-gluon plasma.

研究の動機と目的

• 従来の2次元イジング模型に限らない、多スピン相互作用を伴う高次元模型への双対性概念の拡張を図ること。
• 局所的秩序パラメータを欠くが、ウィルソンループによる非局所的秩序を示す一般化されたイジング模型における相転移を調査すること。
• このような模型と格子ゲージ理論、特に量子色力学（QCD）をモデル化する理論との関連を確立すること。
• 4次元のゲージ不変イジング模型が、ウィルソンループの面積則と周囲則の両方を再現することを示すこと。

提案手法

• 2つ以上のスピンの積を含む相互作用を持つ模型へのクラマース＝ヴァナーダル双対性の一般化。
• 元の格子と双対格子における高温および低温展開を用い、閉じたループとブローチ壁を用いてスピン配置を表現する双対模型の構築。
• ハイパーキューブ格子上にゲージ不変イジング模型を導入し、閉ループに沿ったスピン積（ウィルソンループ）を秩序パラメータとして用いる。
• 高・低温相における相関関数を関連付けるために双対変換を適用する。
• イジングスピンを群の元（例：U(1)、SU(2)、SU(3)）に置き換えることで、一般化されたイジング模型を格子ゲージ理論にマッピングする。特にQCDのモデル化にはSU(3)を用いる。
• ウィルソンループ期待値を用いて、閉じ込め（面積則）と脱閉じ込め（周囲則）の相を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元を超える次元における多スピン相互作用を伴うイジング模型へ、双対性を拡張できるか？
• RQ2 局所的秩序パラメータを欠く一般化されたイジング模型でも、ウィルソンループのような非局所的観測量を用いて相転移を検出できるか？
• RQ3 このような模型が、量子色力学（QCD）で観察される閉じ込め・脱閉じ込め転移を再現できるか？
• RQ4 非局所的秩序パラメータを有する模型において、双対変換が高・低温相をどのように関連付けるか？
• RQ5 ゲージ不変性が、高次元の一般化されたイジング模型においてQCDに類似した相構造を可能にする役割は何か？

主な発見

• 4次元の一般化されたイジング模型は、高温でウィルソンループの面積則を示し、クォーカー閉じ込めを示す相転移を示す。
• 低温ではウィルソンループ期待値が周囲則に従い、脱閉じ込めされたクォーク・グルーオンプラズマ相を示す。
• 双対変換により、長距離秩序のない高・低温相が関連づけられ、n > 1 のモデルでは局所的秩序パラメータが存在しないことが確認された。
• 模型の振る舞いは、格子QCDの主要な特徴と一致し、面積則から得られるストリング定数と、脱閉じ込め相における大距離での有限なポテンシャルが再現されている。
• n > 1 のモデルでは、スピン積の相関が大距離で減少することを示すことにより、局所的秩序パラメータの不在が証明された。これは、積がゲージ不変であっても同様に成り立つ。
• 模型の連続極限では、マクスウェル方程式と電磁気作用が再現され、場のテンソルFμνが作用のプラケット項から導かれる。