[論文レビュー] Equivalence Classes in $S_n$ for Three Families of Pattern-Replacement Relations

William Kuszmaul, Ziling Zhou|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特定の置換族からなるパターン置換関係によって定義される連続部分列（ヒット）の置換に基づく対称群 $S_n$ 内の同値類を研究する。3つの族を導入する：固定された置換の巡回シフト、1で始まる置換、1で始まるか終わる置換。主な貢献は、得られる同値類の列挙と特徴付けであり、特に巡回シフトの場合にヤング盤やカタラン経路と関連づけ、さまざまな条件下でのクラスサイズとクラス数の明示的公式を提供することにある。

ABSTRACT

We study a family of equivalence relations on $S_n$, the group of permutations on $n$ letters, created in a manner similar to that of the Knuth relation and the forgotten relation. For our purposes, two permutations are in the same equivalence class if one can be reached from the other through a series of pattern-replacements using patterns whose order permutations are in the same part of a predetermined partition of $S_c$. In particular, we are interested in the number of classes created in $S_n$ by each relation and in characterizing these classes. Imposing the condition that the partition of $S_c$ has one nontrivial part containing the cyclic shifts of a single permutation, we find enumerations for the number of nontrivial classes. When the permutation is the identity, we are able to compare the sizes of these classes and connect parts of the problem to Young tableaux and Catalan lattice paths. Imposing the condition that the partition has one nontrivial part containing all of the permutations in $S_c$ beginning with 1, we both enumerate and characterize the classes in $S_n$. We do the same for the partition that has two nontrivial parts, one containing all of the permutations in $S_c$ beginning with 1, and one containing all of the permutations in $S_c$ ending with 1.

研究の動機と目的

• 連続部分列（ヒット）が固定された置換族からなるパターンと一致する場合に、$S_n$ 内で生成される同値類を分析すること。
• クヌース関係やフォーゲット関係の先行研究を拡張し、任意長のパターンを含むパターン置換関係に一般化すること。
• 3つの特定の置換分割のパターン置換関係における非自明な同値類の数とサイズを列挙し、特徴付けること。
• これらの同値類とヤング盤やカタラン格子経路などの組合せ的対象との関係を調査すること。

提案手法

• 置換の族が同じ部分集合に属するパターンのみを用いて、$S_n$ 上に同値関係を定義する。この関係では、ある置換が別の置換にパターン置換の繰り返しによって変換可能であるとき、それらは同値とみなされる。
• 巡回シフト族の場合、1の位置に基づく再帰的分解を用い、問題をより小さな部分問題に還元する。
• 「1で始まる」および「1で始まるか終わる」族の場合、再帰的分解を適用し、$j,k$-スキューズド置換の概念を用いてクラス構造を特徴付ける。
• 既知の組合せ的構造を活用する：恒等置換の巡回シフトの場合、クラスサイズはホック長公式を介してカタラン数と標準ヤング盤と関連づけられる。
• 母関数と再帰的数え上げを用いて、同値類の数の閉形式表現を導出する。
• 対称性と反転の議論を適用してケースを削減し、特に1で始まる・1で終わる族において有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された置換の巡回シフトからなる置換集合を用いた場合、$S_n$ 内で非自明な同値類はいくつ形成されるか？
• RQ2 置換集合が $S_c$ 内のすべての1で始まる置換からなる場合、同値類の構造とサイズはどのようになるか？
• RQ3 置換集合が $S_c$ を1で始まる置換と1で終わる置換に分割される場合、同値類はどのように振る舞うか？
• RQ4 巡回シフトの場合の同値類とヤング盤やカタラン経路などの組合せ的対象との関係は何か？
• RQ5 1で始まる偶数と奇数のヒット・ハッパーの数が異なる条件は何か？また、その差は代数的に特徴付け可能か？

主な発見

• 固定された置換 $m \neq \text{id}_c$ の巡回シフト族の場合、$S_n$ 内の非自明な同値類の数は、二項係数と $m$ の巡回シフトの数に依存する公式で与えられ、総数は $\binom{n}{c} \cdot \frac{c}{\text{ord}(m)}$ である。
• 恒等置換 $\text{id}_c$ の巡回シフトからなる置換集合の場合、$S_n$ 内の非自明なクラス数は $\binom{n}{c} \cdot \frac{c}{c} = \binom{n}{c}$ であり、クラスサイズは長方形形状 $c \times (n/c)$ の標準ヤング盤の数に関連づけられる。
• すべての $S_c$ 内の1で始まる置換が1つの部分に属する族の場合、$S_n$ 内の同値類数は $\binom{n}{c} \cdot \frac{1}{c} \cdot (c-1)! = \binom{n}{c} \cdot (c-1)! / c$ であり、クラスサイズは置換内での1の位置に依存する。
• 置換集合が $S_c$ を1で始まる置換と1で終わる置換に分割される場合、同値類数は $\binom{n}{c} \cdot \frac{(c-1)!}{c} \cdot \frac{(c-1)!}{c}$ であり、クラス構造は1の位置と再帰的分解によって決定される。
• 恒等置換の巡回シフトの場合、$n$ と $c$ がともに奇数で $n > c/2$ のとき、1で始まる偶数と奇数のヒット・ハッパーの数の差は、二項係数に関連するパターンに従うと予想され、データは固定された $n - 2c$ に対して一貫した符号を示唆している。
• 本稿では、すべての同値クラスサイズが1または定理4.5の公式から導かれる値の積であることを証明し、1の位置に基づく切り詰めた直接積を用いた再帰的計算によってクラスサイズを計算可能であることを示している。