[論文レビュー] Equivariant motives and geometric representation theory. (with an appendix by F. Hörmann and M. Wendt)

Wolfgang Soergel, Rahbar Virk+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 43被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Borelの等変ホモトピー論と代数的近似を用いて、等変混合Tateモチーフの六関手形式的構造を確立し、二つの定義の同値性を証明する。良い幾何的設定において、これらの圏が重み構造を備え、ティルティング結果を満たすことを示し、それらが心の有界ホモトピー圏と同一視されることを示す。これにより、形式的定理の幾何的で形式的な証明が得られ、ヘケ代数およびモジュールのモチービックカテゴリフィケーションが可能となる。

ABSTRACT

We consider categories of equivariant mixed Tate motives, where equivariant is understood in the sense of Borel. We give the two usual definitions of equivariant motives, via the simplicial Borel construction and via algebraic approximations of it. The definitions turn out to be equivalent and give rise to a full six-functor formalism. For rational étale motives over a finite field or the homotopical stable algebraic derivator arising from the semisimplified Hodge realization, the equivariant mixed Tate motives provide a graded version of the equivariant derived category. We show that, in sufficiently nice and clean cases, these categories admit weight structures; moreover, a tilting result holds which identifies the category of equivariant mixed Tate motives with the bounded homotopy category of the heart of its weight structure. This can be seen as a formality result for equivariant derived categories. We also discuss convolution functors on equivariant mixed Tate motives, and consequences for the categorification of the Hecke algebra and some of its modules.

研究の動機と目的

• Borelの意味における等変混合Tateモチーフの整合的な六関手形式的構造の構築。
• 単体的Borel構成と代数的近似による二つの等変モチーブの定義の同値性の証明。
• 十分に良い幾何的設定において、等変混合Tateモチーブが重み構造を備え、ティルティング結果を満たすことを示すこと。
• この枠組みを用いて、ヘケ代数および関連モジュールの幾何的でモチービックなカテゴリフィケーションを構成すること。
• 導出カテゴリにおけるティルティングを用いて、幾何的表現論における形式的定理の新たな幾何的証明を提供すること。

提案手法

• 著者たちは単体的Borel構成と代数的近似を用いて等変モチーブを定義し、ホモトピー的および導出カテゴリ的技法を用いてそれらの同値性を証明する。
• 等変モチーブに対して、引き戻し、押し出し、テンソル積を含む完全な六関手形式的構造を確立する。
• 等変混合Tateモチーブに重み構造を構成し、その心は等変Tateモチーブの圏である。
• ティルティング定理を証明し、重み構造の心の有界ホモトピー圏と等変混合Tateモチーブの圏との同値性を特定する。
• この枠組みを等変モチーブ上の畳み込み関手に適用し、ヘケ代数のカテゴリフィケーションと関連付ける。
• モノイダル導出カテゴリ技法を用いて、ティルティング関手がテンソル構造を保存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等変モチーブの二つの標準的定義—単体的Borel構成と代数的近似—は、混合Tateモチーブの文脈において同値であるか？
• RQ2 幾何的に良好な状況において、等変混合Tateモチーブは重み構造を備えているか？
• RQ3 ティルティング結果により、等変混合Tateモチーブの圏は、その重み構造の心の有界ホモトピー圏と同一視されるか？
• RQ4 等変モチーブにおけるモチービック六関手形式的構造は、どのようにヘケ代数の幾何的カテゴリフィケーションを可能にするか？
• RQ5 この枠組みは、幾何的表現論における形式的定理の新たな幾何的証明を提供できるか？

主な発見

• 単体的Borel構成と代数的近似による等変モチーブの二つの定義は同値であり、理論の堅固な基盤を確立する。
• 十分に良い幾何的設定（例えばアフィンホワイトニー–テイト層構造を持つもの）において、等変混合Tateモチーブの圏は重み構造を備える。
• ティルティング結果が成立する：等変混合Tateモチーブの圏は、その重み構造の心の有界ホモトピー圏と同値である。
• この同値性により、モチービック形式的定理が得られ、等変導出圏の形式的性質が幾何的に実現される。
• 等変混合Tateモチーブ上の畳み込み関手は、ヘケ代数およびそのモジュールをカテゴリフィケーションし、幾何的同型によりブレッド関係が自然に説明される。
• 心の有界ホモトピー圏からモチービック圏へのティルティング関手はモノイダルであり、導出カテゴリ的技法を用いてテンソル構造を保存する。