[论文解读] Error analysis of the SAV-MAC scheme for the Navier-Stokes equations

Xiaoli Li, Jie Shen|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的 SAV-MAC 格式用于 Navier-Stokes 方程，该格式对非线性项采用显式处理，同时保持无条件能量稳定性。通过将标量辅助变量（SAV）方法与标记与格点（MAC）有限差分法相结合，该格式在时间和空间上均达到二阶精度，并通过严格的误差分析证明了在自举论证和精细离散估计下，速度和压力的最优收敛速率。

ABSTRACT

An efficient numerical scheme based on the scalar auxiliary variable (SAV) and marker and cell scheme (MAC) is constructed for the Navier-Stokes equations. A particular feature of the scheme is that the nonlinear term is treated explicitly while being unconditionally energy stable. A rigorous error analysis is carried out to show that both velocity and pressure approximations are second-order accurate in time and space. Numerical experiments are presented to verify the theoretical results.

研究动机与目标

• 开发一种全离散的 SAV-MAC 格式，将标量辅助变量（SAV）方法与标记与格点（MAC）有限差分法结合，用于 Navier-Stokes 方程。
• 即使非线性项显式处理，仍为所提出的 SAV-MAC 格式建立无条件能量稳定性。
• 进行严格的误差分析，证明速度和压力近似在时间和空间上均达到二阶收敛率。
• 通过证明至少一个解收敛到精确解，解决求解辅助变量非线性代数方程的挑战。
• 将 SAV 框架的适用性扩展到 Navier-Stokes 方程，实现可证明的二阶精度和稳定性。

提出的方法

• SAV-MAC 格式采用标量辅助变量（SAV）方法，将 Navier-Stokes 方程重写为一种形式，使得非线性项可显式处理，同时保持能量稳定性。
• 空间离散化采用标记与格点（MAC）有限差分法，该方法确保离散不可压缩性，并保持质量、动量和动能的守恒。
• 在每个时间步长，通过标准 MAC 技术求解两个具有常系数的广义 Stokes 问题，以及一个关于辅助变量的二次代数方程。
• 采用自举论证建立数值解的统一 $L^∞$ 有界性，这对于控制误差分析中的非线性项至关重要。
• 利用离散 inf-sup（LBB）条件，推导出速度和压力在离散 $L^2$ 范数下的最优误差估计。
• 通过一系列精细的离散能量估计和分部求和技术，控制非线性项并实现二阶收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种全离散的 SAV-MAC 格式，使得在 Navier-Stokes 方程中显式处理非线性项的同时保持无条件能量稳定性？
• RQ2 SAV-MAC 格式在时间和空间上对速度和压力近似分别具有怎样的最优收敛速率？
• RQ3 如何分析辅助变量的非线性代数方程，以确保其解收敛到精确解？
• RQ4 能否通过非标准方法严格证明速度和压力的二阶误差估计，以应对显式非线性项和非线性辅助变量带来的挑战？
• RQ5 所提出的格式是否保持了 MAC 方法的离散不可压缩性约束以及质量/动量守恒特性？

主要发现

• 通过严格的误差估计证明，SAV-MAC 格式在时间和空间上对速度和压力近似均达到二阶精度。
• 该格式即使在非线性项显式处理的情况下仍保持无条件能量稳定性，这相较于标准显式格式具有显著优势。
• 通过自举论证建立了数值解的统一 $L^∞$ 有界性，从而在误差分析中有效控制了非线性项。
• 辅助变量的二次代数方程至少存在一个解收敛到精确解，解决了关于解唯一性的关键担忧。
• 速度和压力的离散 $L^2$ 误差估计为最优，且与 Stokes 方程的最佳已知结果一致，现已将其推广至非线性 Navier-Stokes 情况。
• 本工作首次为一种无条件能量稳定、二阶精度、全显式格式的 Navier-Stokes 方程提供了严格的误差分析。