[论文解读] Estimates of the Kobayashi metric on almost complex manifolds

H. Gaussier, Alexandre Sukhov|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2003

Holomorphic and Operator Theory参考文献 15被引用 19

一句话总结

本文在几乎复流形中具有有界严格强拟凸函数的严格强拟凸域上，建立了Kobayashi-Royden无穷小伪度量的下界估计。通过利用强拟凸函数的局部化技术及S. Pinchuk提出的非可积几乎复结构的伸缩法类比，作者证明了此类流形中每一点都具有完全双曲邻域，从而在任意维数下解决了Kobayashi提出的问题。

ABSTRACT

We establish a lower estimate for the Kobayashi-Royden infinitesimal pseudometric on an almost complex manifold $(M,J)$ admitting a bounded strictly plurisubharmonic function. We apply this result to study the boundary behaviour of the metric on a strictly pseudoconvex domain in $M$ and to give a sufficient condition for the complete hyperbolicity of a domain in $(M,J)$. Finally we obtain the regularity up to the bounday of $J$-holomorphic discs attached to a totally real submanifold in $M$.

研究动机与目标

• 在具有有界严格强拟凸函数的几乎复流形中的严格强拟凸域上，提供Kobayashi-Royden无穷小伪度量的下界估计。
• 研究此类域上Kobayashi-Royden度量的边界行为。
• 给出几乎复流形中域完全双曲性的充分条件。
• 解决Kobayashi关于几乎复流形中每一点是否存在完全双曲邻域的问题。

提出的方法

• 受Sibony方法启发，通过构造特殊类别的强拟凸函数，对Kobayashi-Royden度量进行局部化。
• 应用S. Pinchuk提出的伸缩法的几乎复类比，适用于非可积几乎复结构。
• 使用非等距膨胀在边界附近形变几乎复结构，使其在$\mathcal{C}^2$范数下收敛至极限结构$J_0$。
• 分析这些膨胀下Levi形式的不变性，以在极限中保持严格强拟凸性。
• 构造一个严格$J_0$-强拟凸函数$R = \tilde{\rho} + \tilde{\rho}^2$，以确保度量的统一下界。
• 利用Levi形式在非等距膨胀下的不变性，将极限结构中的估计反向转移至原域。

实验结果

研究问题

• RQ1 几乎复流形中的每一点是否都具有完全双曲邻域？
• RQ2 能否在非可积几乎复流形中的严格强拟凸域上建立Kobayashi-Royden度量的下界估计？
• RQ3 在几乎复几何中，Kobayashi-Royden度量在严格强拟凸边界附近的边界行为如何？
• RQ4 何种条件可确保几乎复流形中域的完全双曲性？

主要发现

• 在具有有界严格强拟凸函数的几乎复流形中的严格强拟凸域上，建立了Kobayashi-Royden无穷小伪度量的下界估计。
• 通过Levi形式与非等距伸缩控制度量的边界行为，确保在边界附近具有统一估计。
• 主要结果意味着对Kobayashi问题的肯定回答：几乎复流形中每一点都具有完全双曲邻域。
• 该证明可推广至在边界点严格强拟凸的任意域，从而在边界附近获得局部估计。
• 在非等距膨胀的极限下，定义函数的Levi形式保持一致正定，确保极限函数$R$的严格强拟凸性。
• 通过构造$R = \tilde{\rho} + \tilde{\rho}^2$得到一个具有统一下界Levi形式的严格$J_0$-强拟凸函数，从而实现度量估计。