[论文解读] Wong-Rosay Theorem in almost complex manifolds

Hervé Gaussier, Alexandre Sukhov|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过建立四维几乎复流形中微分同胚序列的紧致性准则，将Wong-Rosay定理推广至几乎复流形。利用尺度化方法、Kobayashi无穷小伪度量估计以及$J$-全纯曲线的先验界，证明了若像结构在$\mathcal{C}^2$范数下收敛，且微分同胚序列在严格强伪凸边界点处凝聚，则该定义域双全纯等价于$\mathbb{C}^2$中的单位球。该结果给出了严格强伪凸几乎复定义域中自同构群的紧致性结果。

ABSTRACT

We study the compactness of sequences of diffeomorphisms in almost complex manifolds in terms of the direct images of the standard integrable structure.

研究动机与目标

• 将经典Wong-Rosay定理推广至几乎复流形中的严格强伪凸定义域。
• 通过标准复结构的直接像收敛性，建立几乎复结构中微分同胚序列的紧致性准则。
• 证明若$\mathbb{C}^2$中有界定义域在$\mathcal{C}^2$-收敛的几乎复结构下，其自同构轨道在$\mathcal{C}^2$严格强伪凸边界点处凝聚，则该定义域双全纯等价于单位球。
• 证明在四维几乎复流形中，若严格强伪凸定义域不存在到单位球的双全纯映射，则其自同构群在紧致开拓扑下是紧致的。

提出的方法

• 将S. Pinchuk的尺度化方法适配至非可积的几乎复设定，需因缺乏可积性而进行修改。
• 利用几乎复流形上Kobayashi无穷小伪度量的下界估计，以控制结构收敛下的几何行为。
• 应用[10]中结果的量化版本，对$J$-全纯曲线施加先验$C^1$-界，确保缩放后映射的等度连续性。
• 通过引理1进行局部模型化，将任意几乎复结构表示为某点附近标准结构的小$\mathcal{C}^2$-扰动。
• 构造缩放微分同胚序列$F^\nu = \Lambda^\nu \circ A^\nu \circ f^\nu$，并应用命题2提取关于标准结构全纯的极限映射$F$。
• 对逆序列$(F^\nu)^{-1}$应用Ascoli定理，提取极限映射$\tilde{F}$，若存在到单位球的双全纯映射则导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，从$\mathbb{C}^2$中定义域到几乎复流形中严格强伪凸定义域的微分同胚序列收敛于到单位球的双全纯映射？
• RQ2 经典Wong-Rosay定理能否在四维非可积几乎复结构中推广？
• RQ3 $\mathcal{C}^2$-收敛的几乎复结构在确保自同构群紧致性中起何作用？
• RQ4 尺度化方法如何被调整以控制非可积设定下$J$-全纯曲线的几何？
• RQ5 在几乎复情形下，为确保$J$-全纯映射导数的等度连续性，需要何种数量化界？

主要发现

• 若从有界定义域$D \subset \mathbb{C}^2$到定义域$G^\nu \subset M$的微分同胚序列$f^\nu$满足$\|J_\nu - J\|_{\mathcal{C}^2(\bar{U})} \to 0$且$f^\nu(x^0) \to p$，则$D$双全纯等价于单位球$\mathbb{B}_2$。
• 若$D$不双全纯等价于$\mathbb{B}_2$且结构$J_\nu$以$\mathcal{C}^2$收敛于$J$，则序列$(f^\nu)$在紧致开拓扑下相对紧致。
• 当$D$为四维几乎复流形中严格强伪凸定义域且不存在从$D$到$\mathbb{B}_2$的双全纯映射时，自同构群$Diff_{(J,J)}(D,D)$在紧致开拓扑下是紧致的。
• 当$\|J' - J_{st}\|_{\mathcal{C}^2} \leq \delta_0$对充分小的$\delta_0 > 0$成立时，$J'$-全纯映射进入$\mathbb{C}^2$的定量$C^1$-界$\|f_{J'}\|_{\mathcal{C}^1(K)} \leq C_{K,\delta_0} \|f_{J'}\|_{\mathcal{C}^0(K)}$成立。
• 缩放映射$F^\nu = \Lambda^\nu \circ A^\nu \circ f^\nu$在紧集上一致收敛于关于$(J, J_{st})$全纯的极限映射$F$，且$F$是其像上的双全纯映射。
• 逆序列$((F^\nu)^{-1})$在紧子集上等度连续，可通过Ascoli定理提取极限映射$\tilde{F}$，若存在到$\mathbb{B}_2$的双全纯映射则导致矛盾。