[論文レビュー] Exact results for vortex loop operators in 3d supersymmetric theories

Nadav Drukker, Takuya Okuda+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、3次元 ${\mathcal{N}}=2$ スーパーストリングゲージ理論における1/2-BPSボルテックスループ演算子の正確な期待値を、スーパーシンメトリー局在化を用いて計算する。$\mathbb{S}^3$、$\mathbb{S}^3_b$、$\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^2$ 上で経路積分を有限次元の行列模型に還元することにより、特異なゲージ場配置を伴うボルテックスループに対して正確な結果が得られ、1ループ行列式が非周期的球面調和関数のスペクトル解析と曲がった背景でのインデックス理論によって決定されることを示している。

ABSTRACT

Three dimensional field theories admit disorder line operators, dubbed vortex loop operators. They are defined by the path integral in the presence of prescribed singularities along the defect line. We study half-BPS vortex loop operators for N=2 supersymmetric theories on S^3, its deformation S^3_b and S^1 x S^2. We construct BPS vortex loops defined by the path integral with a fixed gauge or flavor holonomy for infinitesimal curves linking the loop. It is also possible to include a singular profile for matter fields. For vortex loops defined by holonomy, we perform supersymmetric localization by calculating the fluctuation modes, or alternatively by applying the index theory for transversally elliptic operators. We clarify how the latter method works in situations without fixed points of relevant isometries. Abelian mirror symmetry transforms Wilson and vortex loops in a specific way. In particular an ordinary Wilson loop transforms into a vortex loop for a flavor symmetry. Our localization results confirm the predictions of abelian mirror symmetry.

研究の動機と目的

• 3次元 ${\mathcal{N}}=2$ スーパーストリングゲージ理論における1/2-BPSボルテックスループ演算子の正確な真空期待値を計算すること。
• 曲がった背景において、曲線上に特異なゲージ場配置を持つ場合のスーパーシンメトリー局在化技術を拡張すること。
• $\mathbb{S}^3$ および $\mathbb{S}^3_b$ 上の非周期的球面調和関数を分類・解析し、1ループ行列式を計算すること。
• 経路積分を有限次元の行列模型に還元することにより、アーベル理論におけるボルテックスループ演算子の正確な結果を導出すること。
• $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^2$ 上でのスペクトル解析と境界項補正を介して、ボルテックスループ期待値とインデックス理論との関係を確立すること。

提案手法

• スーパーシンメトリー局在化を $\ mathbb{S}^3$ 上に適用し、スーパーゲージ理論および3次元チャイナル multiplet の作用から構成される局在化作用を用いる。
• 実対角行列 $H$（アーベルの場合には $\eta$）でパrameter化された特異なゲージ場配置を導入することでボルテックスループ演算子を定義し、半分のスーパーシンメトリーを保存する。
• $\mathbb{S}^3$ 上の微分作用素に対して非標準的な周期性を持つスペクトル解析を実施し、境界条件が変更されたスカラー、ベクトル、スピン角調和関数を分類する。
• ディラック作用素 $D_{10}$ のシンボルを解析し、$s \to \infty$ 変形によって極に局在化するゼロモードを分析することにより、インデックス理論を用いて1ループ行列式を計算する。
• $\mathbb{S}^3_b$ および $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^2$ への局在化を一般化し、インデックス理論を用いて分配関数およびボルテックスループ期待値を計算する。
• 場のコhomologicalな整理と還元公式を用いて、ゲージおよびR対称性のフラックスを考慮した $D_{10}$ のインデックスを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異なゲージ場配置を持つ3次元 ${\mathcal{N}}=2$ スーパーストリングゲージ理論におけるボルテックスループ演算子は、どのように一貫的に定義できるか？
• RQ2 $\mathbb{S}^3$、$\mathbb{S}^3_b$、$\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^2$ 上での1/2-BPSボルテックスループ演算子の正確な期待値は何か？
• RQ3 ボルテックスループの存在下で、球面調和関数の非周期的境界条件が1ループ行列式に与える影響は何か？
• RQ4 曲がったスーパーシンメトリー背景におけるボルテックスループ演算子の1ループ行列式を計算する際、インデックス理論が果たす役割は何か？
• RQ5 $\mathbb{S}^3$ 上のボルテックスループを伴う局在化手順は、ゲージ対称性が局所的にしか破れないにもかかわらず、ヒッグス枝局在化とどのように関係しているか？

主な発見

• アーベル ${\mathcal{N}}=2$ 理論における $\mathbb{S}^3$ 上のボルテックスループ演算子の期待値は、スペクトル解析からの1ループ行列式によって修正された有限次元の行列積分として与えられる。
• ベクター multiplet の1ループ行列式は、$\text{ind}\,D_{10}^{\text{vec}} = -\sum_{n\in\mathbb{Z}}\sum_{\alpha\in\text{adj}}h^n\left(t^{-\alpha(m)/2}+t^{\alpha(m)/2}\right)e^{i\alpha(a)}$ として計算され、$\mathbb{S}^3$ 上でのゼロモード局在化から導出される。
• チャイナル multiplet のインデックスは、$\text{ind}_{g}D_{10}^{\text{chi}} = \sum_{n\in\mathbb{Z}}\sum_{r=0}^{\infty}\sum_{\rho\in R}h^n\left(t^{r-\frac{1}{2}\rho(m)}-t^{-r-1+\frac{1}{2}\rho(m)}\right)e^{i\rho(a)}f$ であり、R荷重とフラックスからの寄与がある。
• $D_{10}$ のゼロモードは、$s \to \infty$ の極限において $\mathbb{S}^3$ の北極および南極に局在化し、波動関数は $\sim e^{-ir\varphi}\sin^r\theta \, e^{-2s\sin^2(\theta/2)}$ のように振る舞う。
• $\mathbb{S}^3_b$ および $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^2$ 上でのインデックス計算は、インデックス理論を用いて一貫した結果をもたらし、分配関数およびループ期待値はスペクトルデータで表現される。
• ゲージ対称性がボルテックスlocusでのみ破れるにもかかわらず、背景における定数モードが凍結されているため、この方法は効果的にヒッグス枝に局在化している。