[論文レビュー] Exponential ergodicity for SDEs and McKean-Vlasov processes with Lévy noise

Mingjie Liang, Mateusz B. Majka+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 44被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、一般のライアプノフ型ドリフト条件の下で、レビー音を駆動とするSDEおよびマクケイン＝ヴラソフ過程に対して指数的エルゴドニシティを確立する。カップリング法、$L^1$-ウォッサーシュタイン距離、およびライアプノフ関数を組み合わせることで、一般の純ジャンプ型レビー過程（対称性や有限活動性を要しないものも含む）に対しても、全 Variation 及びウォッサーシュタイン距離の両方で不変分布への確実な指数的収束を証明する。

ABSTRACT

We study stochastic differential equations (SDEs) of McKean-Vlasov type with distribution dependent drifts and driven by pure jump Lévy processes. We prove a uniform in time propagation of chaos result, providing quantitative bounds on convergence rate of interacting particle systems with Lévy noise to the corresponding McKean-Vlasov SDE. By applying techniques that combine couplings, appropriately constructed $L^1$-Wasserstein distances and Lyapunov functions, we show exponential convergence of solutions of such SDEs to their stationary distributions. Our methods allow us to obtain results that are novel even for a broad class of Lévy-driven SDEs with distribution independent coefficients.

研究の動機と目的

• 一般のライアプノフ型ドリフト条件の下で、レビー音を伴うSDEの指数的エルゴドニシティを確立すること。
• 既存のカップリングに基づく手法を、対称的または有限活動性を持たない一般の純ジャンプ型レビー過程へと拡張すること。
• レビー音を伴う相互作用粒子系について、時間に依存しない一様な混沌の伝播を確立し、マクケイン＝ヴラソフ極限への収束を定量的に評価すること。
• ドリフトが分布に依存するマクケイン＝ヴラソフSDEの一般条件の下での指数的エルゴドニシティを確立すること。
• SDEおよびマクケイン＝ヴラソフ過程の両方について、全 Variation 及び $L^1$-ウォッサーシュタイン距離における収束速度の定量的バウンドを提供すること。

提案手法

• 均衡への収束を分析するために、カップリング技法と $L^1$-ウォッサーシュタイン距離を組み合わせる。
• ドリフトを制御し、過程の安定性を保証するためにライアプノフ関数を適用する。
• レビー音のジャンプ構造を考慮した、新規のカップリング構成を導入する。
• 分布収束を測るために、$L^1$-ウォッサーシュタイン距離 $W_1(\mu_1, \mu_2) = \inf_{\Pi} \int |x-y| \, d\Pi(x,y)$ を用いる。
• 粒子系とマクケイン＝ヴラソフ極限との差のバウンドを通じて、混沌の伝播を確立する。
• モーメントバウンドを導出するために、生成作用素 $L[\mu]f(x)$ を $f(x) = |x|^2$ に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のライアプノフ型ドリフト条件の下で、レビー音を伴うSDEの指数的エルゴドニシティを確立できるか？
• RQ2 カップリング法は、複合ポアソン型や対称的 $\alpha$-安定型を越えて、一般の純ジャンプ型レビー過程へと拡張可能か？
• RQ3 レビー音を伴う相互作用粒子系のマクケイン＝ヴラソフSDEへの収束速度は何か？
• RQ4 ドリフトが分布に依存するマクケイン＝ヴラソフSDEの一般条件の下で、指数的エルゴドニシティを証明できるか？
• RQ5 このような過程の全 Variation 及び $L^1$-ウォッサーシュタイン距離における収束の定量的バウンドは何か？

主な発見

• ライアプノフドリフト条件 $\langle x, b(x) \rangle \leq -\lambda |x|^2$ の下で、レビー音を伴うSDEについて、全 Variation 及び $L^1$-ウォッサーシュタイン距離の両方で指数的エルゴドニシティが成立する。
• 収束速度は指数的である：$\|P_t(x,\cdot) - \mu\|_{\text{Var}} \leq c_1(x) e^{-\lambda t}$ および $W_1(P_t(x,\cdot), \mu) \leq c_2(x) e^{-\lambda t}$（$\lambda > 0$ を満たすある定数）。
• ある $\kappa_0 \in (0,1]$ に対して $J(\kappa_0) > 0$ であることは、エルゴドニシティの十分条件であり、従来の仮定よりも著しく弱い。
• マクケイン＝ヴラソフSDEに関しては、$L^1$-ウォッサーシュタイン距離において $O(1/\sqrt{n})$ のオーダーのバウンドを伴う、時間に依存しない一様な混沌の伝播が確立される。
• ドリフトおよびノイズの一般条件の下で、マクケイン＝ヴラソフ過程の指数的エルゴドニシティが証明され、$\int_{|z| \geq 1} |z| \nu(dz) < \infty$ および $J(\kappa_0) > 0$ の条件を含む。
• 生成作用素を $f(x) = |x|^2$ に適用することでモーメントバウンドが得られ、適切なドリフトおよびノイズ条件の下で $\mathbb{E}|X_t|^2 \leq \mathbb{E}|X_0|^2 + C_4$ が成り立つ。