[论文解读] Exponential-Time Approximation of Hard Problems

Marek Cygan, Łukasz Kowalik+2 more|ArXiv.org|Oct 27, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 22被引用 19

一句话总结

本文研究了最大独立集、顶点着色、集合覆盖和带宽等NP难问题在近似比与指数时间复杂度之间的权衡。提出了两种方法：(1) 设计具有更小搜索树的回溯算法，实现带宽问题的$(4r-1)$-近似，时间复杂度为$O^*(2^{n/r})$；(2) 将精确的指数时间算法转化为更快的近似方案，例如通过$O^*(c^{n/r})$时间实现集合覆盖问题的$(1+\ln r)$-近似，从而在准确度与运行时间之间实现实用的权衡。

ABSTRACT

We study optimization problems that are neither approximable in polynomial time (at least with a constant factor) nor fixed parameter tractable, under widely believed complexity assumptions. Specifically, we focus on Maximum Independent Set, Vertex Coloring, Set Cover, and Bandwidth. In recent years, many researchers design exact exponential-time algorithms for these and other hard problems. The goal is getting the time complexity still of order $O(c^n)$, but with the constant $c$ as small as possible. In this work we extend this line of research and we investigate whether the constant $c$ can be made even smaller when one allows constant factor approximation. In fact, we describe a kind of approximation schemes -- trade-offs between approximation factor and the time complexity. We study two natural approaches. The first approach consists of designing a backtracking algorithm with a small search tree. We present one result of that kind: a $(4r-1)$-approximation of Bandwidth in time $O^*(2^{n/r})$, for any positive integer $r$. The second approach uses general transformations from exponential-time exact algorithms to approximations that are faster but still exponential-time. For example, we show that for any reduction rate $r$, one can transform any $O^*(c^n)$-time algorithm for Set Cover into a $(1+\ln r)$-approximation algorithm running in time $O^*(c^{n/r})$. We believe that results of that kind extend the applicability of exact algorithms for NP-hard problems.

研究动机与目标

• 解决在标准复杂性假设下既无法多项式时间近似，也非固定参数可追踪的NP难问题。
• 探讨是否可以在允许常数因子近似的情况下，降低精确算法的指数时间复杂度。
• 为带宽、集合覆盖和独立集等困难问题设计近似质量与运行时间之间的实用权衡。
• 通过分析与多项式时间近似可解性的联系，建立此类降低的理论极限。

提出的方法

• 设计一种带有剪枝搜索树的回溯算法，对任意整数$r \geq 1$，在$O^*(2^{n/r})$时间内实现带宽问题的$(4r-1)$-近似。
• 使用一种归约器，通过将集合划分为大小为$r$的块，将输入划分为$m$个子实例，从而实现通过加权合并的近似。
• 应用一种合并器，从$m$个子实例中选择最轻的覆盖，确保最终解在最优解的$\alpha r$倍以内，其中$\alpha$是子实例求解器的近似比。
• 通过基于块的实例归约，将任意$O^*(c^n)$时间的集合覆盖精确算法转化为$O^*(c^{n/r})$时间的$(1+\ln r)$-近似算法。
• 将该框架扩展至最小支配集问题，通过适配合并机制以实现图中顶点的识别。
• 利用还原组合引理分析此类归约的影响，以限制多项式时间近似可解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以通过允许常数因子近似来降低指数时间精确算法的运行时间？若是，能降低多少？
• RQ2 对于带宽和集合覆盖等困难问题，近似比与运行时间之间的权衡是什么？
• RQ3 是否可以系统性地通过实例划分与合并，将精确的指数时间算法转化为更快的近似方案？
• RQ4 此类归约在保持良好近似比的同时，其运行时间改进是否存在理论极限？
• RQ5 此类归约是否能导致更好的多项式时间近似，这又对独立集和顶点着色等问题的固有难度意味着什么？

主要发现

• 带宽问题的$(4r-1)$-近似算法在任意正整数$r$下运行时间为$O^*(2^{n/r})$，通过减小指数基底，优于精确算法。
• 对于集合覆盖问题，任意$O^*(c^n)$时间的精确算法均可转化为运行时间为$O^*(c^{n/r})$的$(1+\ln r)$-近似算法，实现显著的运行时间降低。
• 该归约框架在$O(2^{0.598n/r})$时间内实现了最小支配集的$r$-近似，利用了最近的$O(2^{0.598n})$复杂度的精确算法。
• 该框架表明，若对最大独立集存在多项式时间有界$(r, \alpha r)$-归约，则可在多项式时间内实现$O(n / \log n)^{\log_r c}$-近似，暗示此类归约的固有局限性。
• 分析表明，若通过有界归约实现超过$\alpha r$近似比的改进，将意味着多项式时间近似可解性的突破，例如${\rm NP} = {\rm ZPP}$，在标准假设下成立。