[論文レビュー] F-index of graphs based on new operations related to the join of graphs

Prosanta Sarkar, Nilanjan De+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2017

Graph theory and applications参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2つのグラフの結合に基づく、頂点および辺 $Φ$-結合グラフ（$Φ \in \{S, R, Q, T\}$）のFインデックス（頂点次数の立方和）について、閉形式の公式を導出する。Fインデックスは、$F(G)$、$M_1(G)$、$HM(G)$、$ReZM(G)$ といった古典的トポロジカルインデックスの関数として正確に表現され、$P_n \underline{\vee}_T P_m$ や $C_n \underline{\vee}_T C_m$ といった複雑なグラフ族のFインデックスを正確に計算可能となる。主な貢献は、分割結合グラフにおけるFインデックス計算の統一的解析フレームワークの構築である。

ABSTRACT

The forgotten topological index or F-index of a graph is defined as the sum of degree cube of all the vertices of the graph. This index was introduced by Gutman and Trinajestić more than 40 years ago. In this paper, we derive F-index of new operations of subdivision graphs related to the graphs join.

研究の動機と目的

• グラフの結合に基づく新しいグラフ操作への無視されたトポロジカルインデックス（Fインデックス）の応用を拡張すること。
• 頂点 $Φ$-結合および辺 $Φ$-結合という新しいグラフ操作を定義・形式化すること。ここで $Φ$ は、分割に基づく変換（S, R, Q, T）を表す。
• これらの新しいグラフ操作のFインデックスについて、元のグラフの基本的トポロジカルインデックスを用いた閉形式の解析的表現を導出すること。
• パス（$P_n$）やサイクル（$C_n$）といった標準的グラフ族に対して、これらの操作下での明示的なFインデックス公式を提供することにより、実用的なQSAR/QSPR応用を可能にすること。

提案手法

• 部分グラフ（$\Phi(G)$）を用いたグラフ $G$ と、2番目のグラフ $H$ を完全な頂点接続によって結合することで、頂点 $Φ$-結合および辺 $Φ$-結合操作を導入する。
• 4つの分割操作を定義する：$S(G)$（経路挿入）、$R(G)$（頂点結合）、$Q(G)$（隣接する新規頂点結合）、$T(G)$（すべての接続を持つ総合グラフ）。
• 結果として得られるグラフにおける各頂点の次数を分析することでFインデックスを計算し、元の頂点、挿入された頂点（$I(G)$）、および2番目のグラフへの接続からの寄与を区別する。
• 次数の公式を用いる：$v \in V(G_1)$ に対して、$d_{G_1 \dot{\vee}_\Phi G_2}(v) = d_{G_1}(v) + n_2$；$v \in I(G_1)$ に対して、$d_{G_1 \dot{\vee}_\Phi G_2}(v) = d_{G_1}(u) + d_{G_1}(v) + n_2$（辺 $Φ$-結合の場合）。
• 既知のトポロジカルインデックスを適用する：$F(G)$、$M_1(G)$（第一Zagreb）、$HM(G)$（ハイパーリンクZagreb）、$ReZM(G)$（再定義Zagreb）、および本稿で新たに定義された $M_4(G)$。
• Fインデックスの和を二項定理を用いて展開し、項を再編成して標準的インデックス形式にすることで、簡潔な閉形式の表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点 $Φ$-結合グラフ $G_1 \dot{\vee}_\Phi G_2$（$\Phi \in \{S, R, Q, T\}$）のFインデックスは何か？
• RQ2 辺 $Φ$-結合グラフ $G_1 \underline{\vee}_\Phi G_2$ のFインデックスは、$G_1$ および $G_2$ のトポロジカルインデックスにどのように依存するか？
• RQ3 これらの新しい操作下で、パス（$P_n$）やサイクル（$C_n$）といった標準的グラフ族に対して、Fインデックスの明示的公式を導出できるか？
• RQ4 これらのグラフ操作の文脈において、Fインデックスと他のトポロジカルインデックス（$M_1$、$HM$、$ReZM$）との関係は何か？

主な発見

• 頂点 $Φ$-結合 $G_1 \dot{\vee}_\Phi G_2$ のFインデックスは、$F(G_1)$、$F(G_2)$、$M_1(G_1)$、$M_1(G_2)$、$HM(G_1)$、$ReZM(G_1)$、および $m_1 n_2^3$ の関数として導出され、係数は $Φ$ に依存する。
• 辺 $T$-結合の場合、Fインデックスは $F(G_1 \underline{\vee}_T G_2) = 8F(G_1) + F(G_2) + 3n_2^2 M_1(G_1) + 3m_1 M_1(G_2) + M_4(G_1) + 3n_2 HM(G_1) + 3ReZM(G_1) + m_1^2(6m_2 + m_1 n_2) + m_1 n_2^3$ で与えられる。ここで $M_4(G_1)$ は新たに定義されたインデックスである。
• $P_n \underline{\vee}_T P_m$ に対して明示的な公式を計算し、$F(P_n \underline{\vee}_T P_m) = m^3(n-1) + 3m^2(4n-6) + m(n-1)^3 + 6(m-1)(n-1)^2 + 60mn - 94m + 110n - 246$（$m \geq 2, n \geq 3$）が得られた。
• $P_n \underline{\vee}_T C_m$ に対して、Fインデックスは $F(P_n \underline{\vee}_T C_m) = m^3(n-1) + 3m^2(4n-6) + m(n-1)^3 + 6m(n-1)^2 + 60mn - 94m + 128n - 250$（$m,n \geq 3$）である。
• $C_n \underline{\vee}_T C_m$ に対して、Fインデックスは $F(C_n \underline{\vee}_T C_m) = m^3 n + 12m^2 n + m n^2 (n+6) + 60mn + 8m + 128n$（$m,n \geq 3$）である。
• $C_n \underline{\vee}_T P_m$ に対して、Fインデックスは $F(C_n \underline{\vee}_T P_m) = m^3 n + 12m^2 n + m n^3 + 6n^2(m-1) + 60mn + 8m + 110n - 14$（$m,n \geq 3$）である。