[論文レビュー] Factoring with n+2 clean qubits and n-1 dirty qubits

Craig Gidney|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、Shorの整数因数分解アルゴリズムに必要なクリーン・キュービット数を 1.5n + O(1) から n + 2 に削減する、可逆な古典的回路設計を提示する。この手法は、n−1 個のダーティ・キュービット（未知状態にあるが復元が必要なキュービット）を活用する。最適化された算術演算（例えば、モジュロ加算やスケーリング）を、最小限のクリーン・アラウンダに実装することで、同じ漸近的回路深さとサイズを維持しながら、空間制約のある量子アーキテクチャにおいて顕著なキュービット節約を実現する。

ABSTRACT

We present reversible classical circuits for performing various arithmetic operations aided by dirty ancillae (i.e. extra qubits in an unknown state that must be restored before the circuit ends). We improve the number of clean qubits needed to factor an n-bit number with Shor's algorithm from 1.5n+O(1) to n+2, assisted by n-1 dirty qubits, without increasing the asymptotic size or depth of the circuit.

研究の動機と目的

• Shorのアルゴリズムに必要なクリーン・キュービット数を 1.5n + O(1) から n + 2 に削減すること。
• 可逆算術回路において、クリーン・アラウンダをダーティ・アラウンダで効果的に置き換えられることを示すこと。
• クリーン・キュービット数の最小化を設計指標として採用する理論的意味を検討すること、たとえゲート数や深さが増加しても。
• タイトなキュービット空間制約下での、Shorのアルゴリズムにおける周期発見のよりコンactな実装を可能にすること。
• 将来的な構築物の基盤を提供し、Shorのアルゴリズムにおける総キュービット使用量を n + O(1) にまで削減することを目的とする。

提案手法

• モジュロ算術演算（例：モジュロ加算、オフセット操作）のための可逆古典回路を設計し、クリーン・キュービットを n+2 個、ダーティ・キュービットを n−1 個のみに制限する。
• 制御分解を用いて算術演算を実装し、ピボット反転とトグル制御を用いて制御論理を効率的に管理する。
• コンmutator制御技術を用いて制御依存関係を再構成し、サブルーチン間でアラウンダ・キュービットを再利用可能にする。
• モジュロ乗算を、最小限のクリーン・アラウンダで実装されたスケーリング・モジュロ加算のシーケンスとして構築する。
• 回路図の表記規則を適用し、クリーンおよびダーティ・アラウンダ要件を明示的にラベル付け（例：「3 dirty」を添付した三角形）することで、リソース使用の追跡可能性を確保する。
• 2の補数表現と 2^n を法とするモジュロ算術を用い、回路設計を単純化する。すべての演算が n ビットレジスタ内に収束すると仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ダーティ・アラウンダを活用することで、Shorのアルゴリズムに必要なクリーン・キュービット数を 1.5n + O(1) 未満に削減できるか？
• RQ2 可逆算術回路において、クリーン・アラウンダをダーティ・アラウンダに置き換える際の、回路深さとゲート数のトレードオフは何か？
• RQ3 モジュロ乗算を、より少ないクリーン・キュービットを要するが、利用可能なダーティ・キュービットを活用する小さな演算に分解する方法は何か？
• RQ4 ダーティ・キュービットを効率的に使用するための回路技術は何か？ ただし、全体のアルゴリズムの漸近的複雑性は増加しないように。
• RQ5 戦略的なダーティ・アラウンダの使用とモジュロ分解を組み合わせることで、Shorのアルゴリズムにおける総キュービット使用量を n + O(1) にまで達成できるか？

主な発見

• n ビットの数を因数分解するためのShorのアルゴリズムに必要なクリーン・キュービット数は、n−1 個のダーティ・キュービットを用いることで、1.5n + O(1) から n + 2 に削減された。
• 従来の構成と比較して、漸近的回路深さとサイズは変化せず、スケーラビリティは維持されているが、アラウンダ管理の複雑性は増加している。
• 算術演算1つあたり、2個以下のダーティ・アラウンダしか使用しない。ただし、モジュロ乗算を除き、これはより多くの必要量を要するが、依然として n−1 個のダーティ・キュービットの制限内に収まっている。
• 全体の回路は 2n + 1 個のキュービットを使用する：位相推定用に1個、作業レジスタにn個、モジュロ乗算用にn個のアラウンダ。
• 本手法は、ダーティ・アラウンダが可逆算術に効果的に利用可能であることを示しており、タイトな空間制約下でのコンパクトな回路設計を可能にする。
• 将来的な改善策（例：中国剰余定理やコンミュータ制御）により、さらにアラウンダ使用量を削減可能であるが、因数分解における循環的依存性のため、本稿では適用していない。