[論文レビュー] Factorization of denominators in integration-by-parts reductions

Johann Usovitsch|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2020

Polynomial and algebraic computation参考文献 25被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、次元正則化パrameter $d$ が、部分積分（IBP）還元係数の分母に因数分解されるような、フェルミオン積分のマスターテンプレート基底を計算する Mathematica パッケージ findFactorizedBasis.m を紹介する。数値サンプリングと反復的基底置換を用いて運動量に依存しない多項式構造を活用することで、計算複雑性が低減され、結果テーブルのサイズが半減し、有限体技術によるより高速な代数的再構成が可能になる。

ABSTRACT

We present a Mathematica package which finds a basis of master integrals for the Feynman integral reduction. In this basis the dependence on the dimensional regularization in the denominators factorizes in kinematic independent polynomials.

研究の動機と目的

• 多ループフェルミオン積分における部分積分（IBP）還元の計算複雑性を低減すること。
• IBP還元係数の分母に $d$ が因数分解されるようなマスターテンプレート基底の構築。
• 分母の解析的構造を単純化することで、代数的再構成の高速化を実現すること。
• 事前に分母の構成要素を特定することで、有限体法を用いた効率的な IBP 還元を可能にすること。

提案手法

• 運動量不変量および質量に異なる数値を割り当てた2回の IBP 還元を実行し、$d$ に依存する分母の構成要素を特定する。
• 還元結果の非符号等価な $d$ 依存項を比較することで、候補となる分母多項式の集合 $R$ を構築する。
• トップセクター内のマスターテンプレート基底を反復的に置換することで、分子多項式の $d$ における次数を最小化する。
• 分子多項式が運動量不変量にのみ依存するような配置を優先し、$d$ の因数分解を保証する。
• セクターごとに上位から下位のサブセクターへと段階的に処理を進め、すべての $d$ 依存性が因数分解されるまで繰り返す。
• 最終的な基底は、すべての分母が $d$ および運動量不変量に関する低次の多項式の積に因数分解され、整数乗の形で表されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 IBP還元係数における $d$ 依存性が運動量に依存しない多項式の積に因数分解されるような、マスターテンプレート基底を体系的に構築できるか？
• RQ2 多ループ振幅計算における計算コストを低減するために、分母の解析的構造をどのように単純化できるか？
• RQ3 因数分解された $d$ 依存性は、代数的再構成および有限体に基づく IBP 還元の効率をどの程度向上させるか？
• RQ4 完全な解析的構造を事前に知らずに、分母の構成要素を自動的に同定するためのアルゴリズム的戦略は何か？

主な発見

• findFactorizedBasis.m パッケージは、分母におけるすべての $d$ 依存性が $d$ および運動量不変量に関する低次の多項式の積に因数分解されるマスターテンプレート基底を効果的に生成した。
• 二ループ二重ペンタゴン積分の例では、分母の因数分解のおかげで最終還元テーブルのサイズが約 50% 減少した。
• 分母の解析的構造が明確になったため、数値サンプルをわずかに使用するだけで代数的再構成が可能になった。
• このツールは、二ループ二重ペンタゴン積分および三ループ非平面型フォーム因子積分という、非自明な2つの例で検証された。
• Kira などの還元プログラムと組み合わせて使用することで、特に有限体技術と併用した場合に、ツールの性能が向上する。
• IBP 還元出力における有理関数の構造が単純化されることで、高精度算術やディスクストレージの必要性が低減された。