[論文レビュー] Fast Hybrid Schemes for Fractional Riccati Equations (Rough is not so Tough)

Giorgia Callegaro, Martino Grasselli+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、粗きHeston確率的ボラティリティモデルに現れる分数ラッジ方程式を解く高速なハイブリッド数値スキームを提案する。級数展開と外挿技術を組み合わせることで、収束半径の有限性を超えて解を拡張する。この手法は、高い精度と計算効率を達成し、オプションプライシングの応用において標準的なアダムズ法を上回る性能を示す。

ABSTRACT

We solve a family of fractional Riccati differential equations with constant (possibly complex) coefficients. These equations arise, e.g., in fractional Heston stochastic volatility models, that have received great attention in the recent financial literature thanks to their ability to reproduce a rough volatility behavior. We first consider the case of a zero initial value corresponding to the characteristic function of the log-price. Then we investigate the case of a general starting value associated to a transform also involving the volatility process. The solution to the fractional Riccati equation takes the form of power series, whose convergence domain is typically finite. This naturally suggests a hybrid numerical algorithm to explicitly obtain the solution also beyond the convergence domain of the power series representation. Our numerical tests show that the hybrid algorithm turns out to be extremely fast and stable. When applied to option pricing, our method largely outperforms the only available alternative in the literature, based on the Adams method.

研究の動機と目的

• 粗きHestonモデルに現れる定数複素係数を有する分数ラッジ方程式を解くための効率的な数値手法の開発を目的とする。
• 級数解が有限領域でのみ収束することに起因する制限を克服するため、ハイブリッド数値技術を用いてその有効範囲を拡張することを目的とする。
• 金融モデリングにおける分数ODEを解くためのアダムズ法に対する計算的に効率的な代替手法を提供することを目的とする。
• 対数リターンの特性関数およびボラティリティを含む結合変換を正確かつ高速に計算可能にするため、オプションプライシングに不可欠な基盤を提供することを目的とする。
• 特に粗きボラティリティを有する短期満期オプションにおいて、本手法の頑健性と高速性を実践的応用場面で示すこと。

提案手法

• 分数ラッジ方程式の解は時間に関する級数展開として表現され、係数はガンマ関数および分数階微分を含む再帰的関係式から導出される。
• 収束解析はガンマ関数比の上限および再帰的推定を用いて実施され、級数の有限収束半径が確立される。
• 収束領域内での級数解とリチャードソン＝ロムバーグ型の外挿法を組み合わせたハイブリッドアルゴリズムが構築される。これにより収束半径を超えた精度が達成される。
• 粗きHestonモデルのアフィン構造を活用し、オプションプライシングを複素係数を有する分数ラッジ方程式の解法に還元する。
• ガンマ関数および分数階微積分の性質を用いた係数の再帰的バウンディングにより、安定性および収束性が証明される。
• 解析的級数展開と数値的外挿を組み合わせたアルゴリズム実装により、計算コストを最小限に抑えつつ高精度を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数ラッジ方程式の級数解を、その有限収束半径を超えて数値的ハイブリダイゼーションにより拡張可能か？
• RQ2 金融分野における分数ODEを解く標準的アダムズ法と比較して、提案手法の速度および精度はどのように異なるか？
• RQ3 複素係数を有する分数ラッジ方程式の級数解の理論的収束領域および安定性挙動は何か？
• RQ4 粗きボラティリティ下で、短期満期オプションのプライシングにおいて、ハイブリッド手法がどれほど精度と効率を維持できるか？
• RQ5 特性関数計算において、初期条件がゼロおよび非ゼロの両方に対応可能か？

主な発見

• 分数ラッジ方程式の級数解は有限収束半径内でのみ収束するため、長期的または大満期のオプションプライシングへの直接適用が制限される。
• 提案されたハイブリッドスキームは、級数解の収束半径を超えて解を拡張し、より広い時間スケールでの正確な計算を可能にする。
• 数値的実験の結果、アダムズ法に比べて本手法は著しく高速かつ安定であることが示され、特に高精度なオプションプライシングにおいて顕著な優位性を示す。
• 本手法は、小さな時間スケールに対しても高い精度を達成でき、粗きボラティリティ特徴を有する短期満期オプションのプライシングに特に適している。
• 係数の再帰的バウンディングを用いた二重インデックス級数の収束性が証明され、本手法の理論的妥当性が確立される。
• ハースト指数 H ∈ (0,1) の異なる値に対してもアルゴリズムの性能は頑健であるため、広範な粗きボラティリティモデルへの応用が可能である。