[论文解读] Fast Partial Distance Estimation and Applications

Christoph Lenzen, Boaz Patt-Shamir|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用 5

一句话总结

该论文提出了一类快速的分布式算法，用于在 congest 模型中近似计算全源最短路径（APSP），实现了近乎最优的轮数复杂度和紧凑的路由表。论文提出了确定性和随机化方案，结合分层聚类、标签传播和高效的局部距离估计，实现了在 Õ(n) 轮内计算 (1+o(1))-近似 APSP，以及在 Õ(n^{1/2+1/k} + D) 轮内计算 O(k)-近似 APSP，使用 O(log n)-位标签和 O(n^{1/k})-大小的路由表。

ABSTRACT

We study approximate distributed solutions to the weighted {\it all-pairs-shortest-paths} (APSP) problem in the CONGEST model. We obtain the following results. $1.$ A deterministic $(1+o(1))$-approximation to APSP in $ ilde{O}(n)$ rounds. This improves over the best previously known algorithm, by both derandomizing it and by reducing the running time by a $Θ(\log n)$ factor. In many cases, routing schemes involve relabeling, i.e., assigning new names to nodes and require that these names are used in distance and routing queries. It is known that relabeling is necessary to achieve running times of $o(n/\log n)$. In the relabeling model, we obtain the following results. $2.$ A randomized $O(k)$-approximation to APSP, for any integer $k>1$, running in $ ilde{O}(n^{1/2+1/k}+D)$ rounds, where $D$ is the hop diameter of the network. This algorithm simplifies the best previously known result and reduces its approximation ratio from $O(k\log k)$ to $O(k)$. Also, the new algorithm uses uses labels of asymptotically optimal size, namely $O(\log n)$ bits. $3.$ A randomized $O(k)$-approximation to APSP, for any integer $k>1$, running in time $ ilde{O}((nD)^{1/2}\cdot n^{1/k}+D)$ and producing {\it compact routing tables} of size $ ilde{O}(n^{1/k})$. The node lables consist of $O(k\log n)$ bits. This improves on the approximation ratio of $Θ(k^2)$ for tables of that size achieved by the best previously known algorithm, which terminates faster, in $ ilde{O}(n^{1/2+1/k}+D)$ rounds.

研究动机与目标

• 在带宽受限的条件下，为大规模网络中的近似全源最短路径（APSP）设计高效的分布式算法。
• 在保持高近似质量的同时，降低 congest 模型中 APSP 计算的轮数复杂度。
• 实现紧凑的路由表和短的节点标签，这对于在真实网络中实现可扩展和实用的部署至关重要。
• 探索在允许重标记和紧凑存储约束的条件下，近似比、路由表大小、标签长度和运行时间之间的权衡。

提出的方法

• 使用随机采样和标签传播构建网络的分层聚类，以支持高效的局部距离估计。
• 采用基于多级树的标签方案，每个节点维护其子树和父节点的标签，以实现快速的路由决策。
• 通过在 BFS 树上进行流水线通信，模拟集中式近似算法在分布式环境中的轮次。
• 应用随机采样构建稀疏的类似跨度图的子图，以高概率保持近似距离。
• 结合层次结构中多个层级的结果，利用深度与宽度之间的最佳权衡以最小化总运行时间。
• 依赖于每个节点总共仅广播 O(n^{2/k}) 次的事实，从而实现在网络中高效的通信调度。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在不依赖随机化的情况下，于 Õ(n) 轮内实现 (1+o(1))-近似 APSP？
• RQ2 在 O(n^{1/k})-大小的路由表和 O(k log n)-位标签下，可达到的最佳近似比是多少？
• RQ3 如何在保持紧凑数据结构的同时最小化通信轮数？
• RQ4 在允许重标记的情况下，运行时间、近似比和表大小之间的最优权衡是什么？
• RQ5 我们能否设计一种分布式算法，同时实现低轮数复杂度、小标签和紧凑的路由表？

主要发现

• 在 Õ(n) 轮内实现了确定性的 (1+o(1))-近似 APSP，相较于以往的随机化算法，不仅实现了去随机化，还将运行时间减少了 Θ(log n) 倍。
• 在 Õ(n^{1/2+1/k} + D) 轮内实现了随机化的 O(k)-近似 APSP，使用 O(log n)-位标签和 O(n^{1/k})-大小的路由表，将近似比从 O(k log k) 提升至 O(k)。
• 另一种算法在 Õ((nD)^{1/2}·n^{1/k} + D) 轮内实现了 O(k)-近似 APSP，使用 O(n^{1/k})-大小的表和 O(k log n)-位标签，将该表大小下的近似比从 Θ(k²) 改进至 O(k)。
• 通过根据网络直径 D 自适应选择层次结构的层级 l₀，可进一步优化运行时间，以高概率实现 Õ(min{(nD)^{1/2}·n^{1/k}, n^{2/3+2/(3k)}} + D) 轮的最小轮数。
• 所提出的方案在路由和距离估计中实现了 4k−3+o(1) 的拉伸值，路由表大小为 Õ(n^{1/k})，标签大小为 O(k log n)，与紧凑表的近似比下界一致。
• 这些算法为无状态算法，每轮仅使用 O(log n)-位消息，因此在 congest 模型下高效且适用于大规模网络。