[論文レビュー] Finite Sample Smeariness of Fréchet Means and Application to Climate

Shayan Hundrieser, Benjamin Eltzner+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2020

Statistical Methods and Inference参考文献 31被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、円やトーラスなどの非ユークリッド空間におけるFréchet標本平均が、標準的でない収束速度を示す有限標本スメアリネス（FSS）を導入する。これは、標準的な分位数に基づく推論を無効にする。著者らはFSSを是正するブートストラップに基づく検定を提案し、風向データを用いてFSSが分位数検定において誤った有意水準を引き起こすことを示した。一方、ブートストラップ法は名目上の第一種誤り率を維持し、真に顕著な年はわずか数年に限られることを明らかにした。

ABSTRACT

Fréchet means on non-Euclidean spaces may exhibit nonstandard asymptotic rates rendering quantile-based asymptotic inference inapplicable. We show here that this affects, among others, all circular distributions whose support exceeds a half circle. We exhaustively describe this phenomenon and introduce a new concept which we call finite samples smeariness (FSS). In the presence of FSS, it turns out that quantile-based tests for equality of Fréchet means systematically feature effective levels higher than their nominal level which perseveres asymptotically in case of Type I FSS. In contrast, suitable bootstrap-based tests correct for FSS and asymptotically attain the correct level. For illustration of the relevance of FSS in real data, we apply our method to directional wind data from two European cities. It turns out that quantile based tests, not correcting for FSS, find a multitude of significant wind changes. This multitude condenses to a few years featuring significant wind changes, when our bootstrap tests are applied, correcting for FSS.

研究の動機と目的

• 非ユークリッド多様体（円やトーラスなど）におけるFréchet平均の有限標本スメアリネス（FSS）を特定・特徴づけること。
• FSS下では標準的な分位数に基づくFréchet平均の等質性検定が無効となり、第一種誤り率が上昇することを示すこと。
• FSS下でも名目有意水準を漸近的に維持するブートストラップに基づく推論手法を開発・検証すること。
• 提案手法をバイ Basel および Göttingen の実際の風向データに適用し、風向パターンの変化の気象学的有意性を評価すること。
• FSSに起因する誤った有意性を是正することで、どの年が真に顕著な風向変化を示しているかを明確にすること。

提案手法

• Fréchet標本平均の収束速度を母平均に対して相対的に測定するための分散調製係数 $\mathfrak{m}_n = \frac{n\mathbb{E}[d(\mu,\widehat{\mu}_n)^2]}{\mathbb{E}[d(\mu,X)^2]}$ を定義する。
• 2つの新規現象を導入する：タイプI FSS（$\lim_{n\to\infty}\mathfrak{m}_n > 1$）およびタイプII FSS（$\lim_{n\to\infty}\mathfrak{m}_n = 1$）、両者ともすべての $n$ に対して $\mathfrak{m}_n > 1$ を満たす。
• 帰無仮説の下でFréchet平均を再サンプリングするブートストラップに基づく2標本検定（検定4.4）を提案し、漸近正規性に依存しない標本分布の近似を実現する。
• $\mathbb{T}^2$ および $\mathbb{S}^1$ 上の方向データにブートストラップ検定を適用し、p値推定に $B=1000$ 個のブートストラップ再試行を用いる。
• 190組の対比較検定ごとにBenjamini-Hochberg補正を用いて、多重比較の下での偽発見率を制御し、多重性に強い耐性を確保する。
• 分位数に基づく検定（検定4.1）とブートストラップに基づく検定（検定4.4）の結果を比較し、FSSに起因する誤検出（偽陽性）を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの円上分布が有限標本スメアリネス（FSS）を示し、FSSはFréchet標本平均の漸近的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ2 FSSは、非ユークリッド空間におけるFréchet平均の等質性検定の標準的分位数に基づく推論をどの程度無効にするか？
• RQ3 ブートストラップに基づく検定はFSSを是正でき、方向データ解析において漸近的に名目上の第一種誤り率を維持できるか？
• RQ4 FSSは、ヨーロッパの都市における風向時系列のような実世界の気象データにどのように現れるか？
• RQ5 FSSに起因する誤った有意性を是正した後、どの具体的な年が風向パターンの変化において真に顕著であるか？

主な発見

• 密度が至る所非ゼロとなるすべての円上分布（Fisher-von-Mises分布や wrapped Gaussian 分布など）は、有限標本スメアリネス（FSS）を示し、すべての $n$ に対して $\mathfrak{m}_n > 1$ を満たす。
• FSS下では、Fréchet平均の等質性を検定する分位数に基づく手法は、第一種誤り率が系統的に上昇し、帰無仮説下での実効的棄却率が $n=10,000$ 時に最大で 0.876 に達する。
• ブートストラップに基づく検定（検定4.4）は、すべての標本サイズで名目上の5%有意水準を維持し、実効的棄却率がすべてのサイズで約 0.05 に集中する。
• BaselおよびGöttingenの風向データでは、分位数に基づく検定が100件を超える有意な対比較を特定したが、ブートストラップ検定では4年（2003年、2005年、2017年、2018年）にまで減少した。
• FSSに起因する誤った有意性を是正した後、2017年と2018年は依然として顕著な年として残り、これらは恒常的な波7の風パターンと関連する既知の気象学的熱波と整合的である。
• 分位数検定で著しく有意とされた2010年は、ブートストラップ検定ではもはや顕著ではなく、FSSが誤った有意性の原因であることを確認した。