[論文レビュー] Manifolds of Projective Shapes

Thomas Hotz, Florian Kelma+1 more|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|Feb 13, 2016

Morphological variations and asymmetry参考文献 10被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、自由形状部分空間がハウスドルフでないという問題を克服するために、射影的形状空間内に微分可能かつハウスドルフなリーマン多様体を構築する体系的な枠組みを提案する。射影的フレームを擬似フレームに一般化し、射影的部分空間番号によって制限される位相的部分空間を導入することで、タイラー正規形状が、タイラー標準化を用いて自然なリーマン計量を持つ幾何学的に動機づけられた最大の多様体として同定される。

ABSTRACT

The projective shape of a configuration of k points or "landmarks" in RP(d) consists of the information that is invariant under projective transformations and hence is reconstructable from uncalibrated camera views. Mathematically, the space of projective shapes for these k landmarks can be described as the quotient space of k copies of RP(d) modulo the action of the projective linear group PGL(d). Using homogeneous coordinates, such configurations can be described as real k-times-(d+1)-dimensional matrices given up to left-multiplication of non-singular diagonal matrices, while the group PGL(d) acts as GL(d+1) from the right. The main purpose of this paper is to give a detailed examination of the topology of projective shape space, and, using matrix notation, it is shown how to derive subsets that are in a certain sense maximal, differentiable Hausdorff manifolds which can be provided with a Riemannian metric. A special subclass of the projective shapes consists of the Tyler regular shapes, for which geometrically motivated pre-shapes can be defined, thus allowing for the construction of a natural Riemannian metric.

研究の動機と目的

• 射影的形状空間におけるリーマン多様体を体系的に構築する方法の欠如に取り組むこと。これは、コンピュータビジョンにおけるメトリクスに基づく形状解析に不可欠である。
• 自由形状（自明な安定化群）の部分空間がT1多様体ではあるがハウスドルフでないという位相的問題を解決すること。これはアフィン空間や類似形状空間とは異なり、そのような性質を有さない。
• 微分可能かつハウスドルフな多様体であるとともに、再ラベル化に対して閉じており、射影的部分空間制約の階層を尊重し、かつ最大であるような位相的部分空間を同定・特徴付けること。
• よく知られたタイラー正規形状が占める重要な射影的形状の部分クラスとして、その幾何的根拠とリーマン計量を提示すること。
• タイラー正規形状上のリーマン計量が完全であるための条件を確立し、可能な場合に大きな部分空間へ拡張可能である条件を同定すること。

提案手法

• 射影的フレームの一般化としての擬似フレームの概念を導入し、射影的フレームが存在しない状況においても、自由形状部分空間上での局所チャート構成を可能にする。
• 射影的部分空間番号によって制限される位相的部分空間を定義し、再ラベル化に対して閉じていて、階層を尊重するという望ましい性質を満たす最大の部分空間を特徴付ける。
• 配置の行列表現を、非特異な対角行列による左乗法を法とする$k \times (d+1)$実行列として扱い、右作用として$\mathrm{GL}(d+1)$を用いる。
• タイラー標準化をタイラー正規形状に適用し、グラスマン多様体商上の対称的正定値行列へ写像することで、リーマン計量の構築を可能にする。
• 標準的計量を$\mathfrak{so}(k)$上で制限し、$[\mathcal{P}_P, A] = 0$を満たす接空間上で、タイラー正規形状空間上のリーマン計量を導出する。
• リーマン計量が完全であるための条件を特徴付け、分解可能配置に対して非自明な群作用がある場合、より大きな部分空間への拡張が失敗する理由を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由形状部分空間がハウスドルフでないにもかかわらず、射影的形状空間内に微分可能かつハウスドルフなリーマン多様体を構築できるか？
• RQ2 射影的形状の位相的部分空間が、再ラベル化に対して閉じていて、部分空間の階層を尊重し、微分可能かつハウスドルフな多様体であるための幾何学的・位相的条件は何か？
• RQ3 タイラー正規形状上のリーマン計量を幾何学的に正当化し、体系的に導出する方法は何か？
• RQ4 タイラー正規形状空間上のリーマン計量が、より大きな位相的部分空間へ拡張可能である条件は何か？また、その拡張が失敗するのはどのような場合か？
• RQ5 射影的フレームが存在しない状況において、擬似フレームは自由形状部分空間の局所チャートを構築するために果たす役割は何か？

主な発見

• 自由形状（自明な安定化群）の部分空間は、微分可能なT1多様体ではあるがハウスドルフでないため、リーマン構造を有し得ない。
• 擬似フレームは射影的フレームを一般化し、射影的フレームが存在しない状況においても、自由形状部分空間上での局所チャートの構築を可能にする。
• 射影的部分空間番号によって制限される位相的部分空間は、各射影的部分空間に含まれる特徴点の数がその次元に1を加えた数以下である場合に限り、微分可能かつハウスドルフな多様体である。
• タイラー正規形状は、再ラベル化に対して閉じており、射影的部分空間制約の階層を尊重する微分可能かつハウスドルフな最大多様体を形成する。
• タイラー正規形状上のリーマン計量は、$\mathfrak{so}(k)$上の標準計量を、$\mathcal{P}_P$と可換な接空間に制限することで得られ、タイラー標準化による幾何的正当化がなされる。
• 分解可能なタイラー標準化可能な形状が存在する場合、タイラー正規形状空間上のリーマン計量は完全ではなく、非自由な群作用に起因する距離ゼロの特異性のため、より大きな部分空間への拡張は不可能である。