[논문 리뷰] Finite-temperature topological entanglement entropy for CSS codes

Zhi Li, Roger S. K. Mong|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 16.

Neural dynamics and brain function참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 캘더백-쇼어-스타인(CSS) 코드, 즉 전통적인 토폴로지적 오더와 프랙탈 모델을 포함한 유한 온도에서의 토폴로지적 얽힘 엔트로피(TEE)를 조사한다. TEE가 온도에 따라 조각별로 일정하며, 단지 상전이에서만 불연속성이 발생함을 증명하고, 2차원 및 3차원의 모든 토폴로지적 CSS 코드가 영온도에서의 상전이를 겪음을 보여주며, 이는 유한 온도에서의 열적 불안정성과 토폴로지적 오더의 붕괴를 의미한다.

ABSTRACT

We consider topological entanglement entropy (TEE) at finite temperature for CSS codes, which include some ordinary topological-ordered systems such as the toric code and some fracton models such as the Haah's code and the X-cube model. We find, under the assumption that there is no extended critical phase, the finite-temperature TEE is a piecewise constant function of the temperature, with possible discontinuities only at phase transitions. We then consider phase transitions of CSS codes. We claim that there must exist a phase transition at zero temperature for any CSS codes in 2D and 3D with topological order. This statement can be rigorous proved for some familiar examples, while for general models it can be argued based on the low-temperature expansion. This indicates the break down of topological orders at finite temperature. We also discuss possible connections with self-correcting quantum memory.

연구 동기 및 목표

• 유한 온도에서의 토폴로지적 얽힘 엔트로피(TEE)가 토폴로지적 양자 코드에서 어떻게 행동하는지 이해하기.
• 2차원 및 3차원 CSS 코드에서 열역학적 요동이 토폴로지적 오더를 유지하는지 여부를 규명하기.
• 지배 상태의 상전이와 토폴로지적 양자 메모리의 안정성 간의 관계를 조사하기.
• 저온 전개와 프랙탈 진동자가 열적 불안정성을 어떻게 나타내는지 분석하기.
• 이러한 결과가 토폴로지적 코드에서 자가수정 양자 메모리에 미치는 영향을 평가하기.

제안 방법

• CSS 코드의 분할함수 Z(β)를 사용하여 온도의 역수 β에 대한 TEE를 분석한다.
• 프랙탈 진동자가 자유 에너지의 발산에 기여함을 분석하기 위해 저온 전개 기법을 적용한다.
• 연결된 프랙탈 연산자가 분할함수의 로그에 기여하여 페르투르베이션 전개의 붕괴를 일으킴을 이용한다.
• 대표적 모델인 2차원/3차원 토릭 코드, X-cube, 하우의 코드에 대해 정확한 분할함수를 유도한다.
• 상의 구조에 기반하여 TEE가 조각별로 일정하며, 임계 온도에서만 불연속성이 발생함을 확립한다.
• 기존 모델에서 '자유 섹터'의 존재를 활용하여 TEE를 명시적으로 계산하고, 일반적인 CSS 코드에 대해 저에너지 효과 이론을 통해 이론을 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CSS 코드에서 토폴로지적 얽힘 엔트로피(TEE)는 온도에 따라 어떻게 행동하는가?
• RQ2 유한 온도에서의 TEE는 CSS 코드에서의 토폴로지적 위상에 대한 비국소적 순서 매개변수로 기능할 수 있는가?
• RQ3 2차원 및 3차원 토폴로지적 CSS 코드는 영온도에서 상전이를 겪는가? 이는 열적 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 프랙탈 진동자와 연결된 연산자는 저온 전개 붕괴에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 영온도에서의 상전이 존재가 자가수정 양자 메모리의 잠재력에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 토폴로지적 CSS 코드에 대해 유한 온도에서의 TEE는 온도에 대한 조각별 일정 함수이며, 단지 상전이에서만 불연속성이 발생한다.
• 2차원 및 3차원의 모든 토폴로지적 CSS 코드는 영온도에서 상전이를 겪으며, 이는 유한 온도에서의 토폴로지적 오더 붕괴를 의미한다.
• 2차원 토릭 코드, X-cube 모델, 하우의 코드의 경우 TEE는 T=0+에서 감소하고 임계 온도 Tc까지는 일정하게 유지되며, 이후에는 사라진다.
• 자유 에너지 f(β)의 저온 전개는 연결된 프랙탈 연산자의 기여로 붕괴되며, 이는 분할함수의 로그에서 상쇄될 수 없다.
• 저온 전개와 프랙탈 생성자 존재를 통해 일반적인 2차원 및 3차원 토폴로지적 CSS 코드에서 영온도 상전이의 존재를 주장한다.
• 이러한 결과들은 2차원 및 3차원 토폴로지적 CSS 코드가 어떤 유한 온도에서도 자가수정이 되지 않음을 시사하며, 열적 지배 상태가 T=0에서 임계 전이를 겪기 때문이다.