[論文レビュー] Finiteness properties of pseudo-hyperbolic varieties

Ariyan Javanpeykar, Junyi Xie|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 82被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特徴が0の代数閉体上での擬超ثيوبول的多様体に対する支配的有理自己写像の有限性結果を、Amerikの無限位数力学系に関する定理、Prokhorov-Shramovの準最小モデル、Weilの正規化定理、および力学的次数を用いて確立する。主な貢献は、擬1-有界な射影的多様体上の支配的有理自己写像の群が有限かつ torsion であることを証明することであり、Noguchiの定理を一般化し、Kobayashi-Ochiaiの一般型多様体に対する有限性結果を幾何的設定へと拡張する。

ABSTRACT

Motivated by Lang-Vojta's conjecture, we show that the set of dominant rational self-maps of an algebraic variety over a number field with only finitely many rational points in any given number field is finite by combining Amerik's theorem for dynamical systems of infinite order with properties of Prokhorov-Shramov's notion of quasi-minimal models. We also prove a similar result in the geometric setting by using again Amerik's theorem and Prokhorov-Shramov's notion of quasi-minimal model, but also Weil's regularization theorem for birational self-maps and properties of dynamical degrees. Furthermore, in the geometric setting, we obtain an analogue of Kobayashi-Ochiai's finiteness result for varieties of general type, and thereby generalize Noguchi's theorem (formerly Lang's conjecture).

研究の動機と目的

• 数体上の擬Mordellic多様体が唯一の支配的有理自己写像しか持たないというLang-Vojta予想を検証すること。
• 一般型多様体からより広いクラスの擬超ثيوبول的多様体へと、幾何的設定における有限性結果を拡張すること。
• 一般型多様体に対するKobayashi-Ochiaiの有限性結果の幾何的類似を確立すること、Noguchiの定理を一般化すること。
• 変形理論と力学的不変量を用いて、擬1-有界多様体上の双有理自己写像の群が有限かつ torsion であることを証明すること。

提案手法

• Amerikの無限位数力学系に関する定理と、Prokhorov-Shramovの準最小モデルの概念を組み合わせ、有理自己写像を制御する。
• Weilの正規化定理を適用して、双有理自己写像を双有理モデル上の自己同型に拡張する。
• 力学的次数を用いて、反復写像によるアーマントラインバンドルの引き戻しの漸近的成長を分析する。
• Hwang-Kebekus-Peternellの変形的技法を用いて、正則多様体間の全射写像を研究する。
• 力学的次数の対数的凹性と、λ₁ > 1 ならば曲線上で次数の成長が有界でないことを根拠とする。
• 問題を曲線断面に還元し、有界な次数成長が非双有理写像による無限大成長と矛盾することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体上の擬Mordellic多様体の支配的有理自己写像は、すべての位数が有限であるか？
• RQ2 一般型多様体を超えて、擬超ثيوبول的多様体へと双有理自己写像の有限性を拡張できるか？
• RQ3 擬1-有界な射影的多様体上の支配的有理自己写像の群は有限かつ torsion か？
• RQ4 Kobayashi-Ochiaiの有限性結果の幾何的類似は、擬1-有界多様体に対しても成り立つか？
• RQ5 力学的次数を用いて、曲線上の次数成長の観点から、自己写像の非双有理性を検出できるか？

主な発見

• 特徴が0の代数閉体上での擬1-有界な射影的多様体上の支配的有理自己写像の群は、有限かつ torsion である。
• すべての支配的有理自己写像は、非双有理写像が曲線上で無限大の次数成長を引き起こすため、双有理的である。
• 適切な閉部分集合の外で定義された前向き軌道を持つ点が存在すれば、その曲線上での次数成長は有界であるが、非双有理写像では無限大成長となるため矛盾する。
• 力学的次数 λ₁ > 1 ならば、アーマントラインバンドルの引き戻しの次数が反復写像に沿って無限大に成長し、曲線上での有界性と矛盾する。
• Weilの正規化定理により、双有理自己写像は双有理モデル上の自己同型に拡張可能であり、その位数は擬1-有界性により有限である。
• この結果は、Noguchiの定理（かつてLangの予想）を一般化し、一般型多様体に対するKobayashi-Ochiaiの有限性結果の幾何的類似を提供する。