[論文レビュー] First order global asymptotics for Calogero-Sutherland gases

Djalil Chafaï, Nathaël Gozlan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、R^d (d > 2) における外部場を伴うRiesz（Coulombを含む）相互作用を有するN粒子系について、大偏差原理を確立する。粒子の経験的測度が一意の平衡測度にほとんど確実に収束することを証明し、その平衡測度は厳密に凸であり、外部ポテンシャルに応じて輪環または球体上に台を持つ。ポテンシャル理論を用いて明示的に特徴づけられる。

ABSTRACT

Abstract. We study a physical system of N interacting particles in R d, d ≥ 1, subject to pair repulsion and confined by an external field. We establish a large deviations principle for their empirical distribution as N tends to infinity. In the case of Riesz interaction, including Coulomb interaction in arbitrary dimension d> 2, the rate function is strictly convex and admits a unique minimum, the equilibrium measure, characterized via its potential. It follows that almost surely, the empirical distribution of the particles tends to this equilibrium measure as N tends to infinity. In the more specific case of Coulomb interaction in dimension d> 2, and when the external field is a convex or increasing function of the radius, then the equilibrium measure is supported in a ring. With a quadratic external field, the equilibrium measure is uniform on a ball. hal-00818472, version 2- 15 Jun 2013 1.

研究の動機と目的

• R^d におけるN個の粒子の相互作用系のN → ∞における大規模極限を分析すること。
• N → ∞ における粒子の経験的分布に対する大偏差原理を確立すること。
• 厳密に凸なレート関数の唯一の最小化者としての平衡測度を特徴づけること。
• 特に凸または二次ポテンシャルのような異なる外部場のもとでの平衡測度の台を特定すること。

提案手法

• R^d におけるN個の粒子の経験的測度に大偏差理論を適用すること。
• Rieszポテンシャル相互作用（d > 2におけるCoulomb相互作用を含む）をペア相互作用として用いること。
• 大偏差原理のためのレート関数を導出すること。この関数が厳密に凸であることを示すこと。
• ポテンシャル理論の道具を用いて、平衡測度のポテンシャルによる特徴づけを行うこと。
• 特定の外部場（輪環上に台を持つための凸・増加径方向場、球体上に一様に分布するための二次場）における平衡測度の台を分析すること。
• レート関数の厳密な凸性を活用して、経験的測度が平衡測度にほとんど確実に収束することを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^d (d > 2) におけるRiesz型反発力と外部閉じ込めを有するN粒子系の、N → ∞における経験的分布の極限挙動は何か？
• RQ2 特に径方向の凸または二次場の場合に、平衡測度は外部ポテンシャルにどのように依存するか？
• RQ3 大偏差原理のレート関数は厳密に凸であるか？その場合、平衡測度の一意性が保証されるか？
• RQ4 径方向の凸または二次場などの異なる外部ポテンシャルのもとでの平衡測度の幾何的台は何か？
• RQ5 Riesz相互作用の文脈において、平衡測度はそのポテンシャルによって一意に特徴づけられるか？

主な発見

• 大偏差原理のレート関数は厳密に凸であり、これにより唯一の最小化者（＝平衡測度）が保証される。
• ほとんど確実に、N → ∞ において粒子の経験的分布が平衡測度に収束する。
• d > 2 におけるCoulomb相互作用と、凸または増加径方向外部場の下では、平衡測度は輪環上に台を持つ。
• 二次外部場の下では、平衡測度は球体上に一様に分布する。
• 平衡測度はそのポテンシャルによって一意に特徴づけられ、マクロな分布とポテンシャル論的性質を結びつける。