[論文レビュー] Flatness and Semi-Rigidity of Vertex Operator Algebras

Masahiko Miyamoto|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、有理性を仮定しない一般の頂点演算子代数（VOA）に対して定理を確立し、平坦性と半剛性の概念を導入することで、弱い条件下での $C_2$-cofinite 固定点 VOA の有理化を証明する。$\mathrm{CFT}$ 型の有理的 $C_2$-cofinite VOA $T$ が自己同型 $g$ を持ち、固定点部分代数 $V = T^g$ が $C_2$-cofinite であるならば、$V$ は有理的であることが示され、標準的仮定を越えてオルビフォルド有理化結果を拡張する。

ABSTRACT

In vertex operator algebra theories, most of the general theorems are proved under the assumptions of rationality and C_2-cofiniteness. In this paper, we obtain several general theorems without the assumption of rationality so that we can use them for proving rationality of given C_2-cofinite vertex operator algebras. For example, we apply them to orbifold models and show that if g is a finite automorphism of a rational C_2-cofinite vertex operator algebra T of CFT-type with T'\cong T and a fixed point subVOA T^g is C_2-cofinite, then T^g is also rational.

研究の動機と目的

• 有理性を仮定しない VOA に対する一般定理を構築し、$C_2$-cofinite VOA の有理化の証明を可能にする。
• 特に親 VOA の有理性を必要としないように仮定を弱めることで、オルビフォルドモデル理論を拡張する。
• 非半単純な設定におけるモジュール圏と融合積を解析するための道具として、平坦性と半剛性の概念を導入・利用する。
• 親 VOA が有理的であっても、$C_2$-cofinite な $\mathrm{CFT}$ 型固定点 VOA が、弱い条件下で有理的であることを証明する。

提案手法

• 標準的な $C_2$-cofiniteness より弱い条件下で解析可能なように、$V$-モジュールに対する $C_1$-cofiniteness の修正定義を導入する。
• 融合積 $U \boxtimes W$ を射影極限として定義し、$W \boxtimes U$ がすべての $V$-モジュール公理を満たすが下流の切り捨てを除く。
• 半剛性の概念を導入：モジュール $W$ が半剛性であるとは、$W \boxtimes \widetilde{W}$ および $\widetilde{W} \boxtimes W$ が $V$-モジュールであり、あるホモトピーの被覆を形成するような $\widetilde{W}$ が存在することを意味する。
• 半剛性モジュール $C$ の射影被覆 $P_C$ を用い、$\ker(\rho_C) \boxtimes W$ を含む系列の正確性を証明し、$C_2$-cofiniteness の下で平坦性を確立する。
• 相互作用作用素のトレース関数とモジュラー不変性の技法を適用し、$S$-変換の性質を活用して有理化を証明する。
• 固定点 VOA の有理化を導くために、条件 I（$V$ への非ゼロホモロジーが存在する双対モジュールの存在）と条件 II（トレース関数のモジュラー不変性）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 親 VOA の有理性を仮定しない場合に、$C_2$-cofinite 固定点 VOA の有理化を確立できるか？
• RQ2 非半単純な VOA モジュール圏において、融合積が正確性を保つ条件は何か？
• RQ3 半剛性は、射影性と平坦性を保証する非半単純な剛性の類似としてどのように機能するか？
• RQ4 $C_1$-cofiniteness は、オルビフォルド有理化の標準的仮定を弱める役割を果たすか？
• RQ5 相互作用作用素のトレース関数を用いて、モジュラー不変性と $S$-変換の性質を活用し、有理化を証明できるか？

主な発見

• $T$ が $\mathrm{CFT}$ 型の有理的 $C_2$-cofinite VOA であり、$g$ が有限自己同型で、$V = T^g$ が $C_2$-cofinite かつ条件 I を満たすならば、$V$ は有理的である。
• すべての単純 $V$-モジュールは、ある $g^k$-twisted $T$-モジュールの部分モジュールと同型であり、単純 $V$-モジュールの完全分類が得られる。
• 固定点 VOA $V = T^g$ は、$T$ が条件 II（トレース関数のモジュラー不変性）を満たすならば、$V$ も条件 II を満たし、モジュラーテンソルカテゴリ技法の適用が可能になる。
• 半剛性は、$V$ が $V$-モジュールとして射影的であれば、すべての半剛性な単純モジュールが射影的であり、すべてのモジュールが半剛性であればすべてが平坦であることを示唆する。
• $C_2$-cofiniteness の下で、系列 $0 \to \ker(\rho_C) \boxtimes W \to P_C \boxtimes W \to C \boxtimes W \to 0$ が正確であるという点で、融合積 $U \boxtimes W$ は良好に振る舞う。
• トレース関数 $\Psi_V(Y(\mathcal{Y}))$ は、相互作用作用素のトレース関数の線形結合であり、その $S$-変換も同様に線形結合である。これにより、モジュラー不変性と有理化が証明される。