[論文レビュー] Floer cohomology of real Lagrangians in the Fermat quintic threefold

Garrett Alston|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、同次方程式 $X_0^5 + \cdots + X_4^5 = 0$ で定義されるカルラヤ・ヤウ3次元多様体であるフェルマー5次3次元多様体内の実ラグランジュ部分多様体の対間のフロアー・コホモロジーを計算する。低エネルギーの正則的円板およびストリップの明示的記述と、マスロフ指数、障害バンドル、および反射を用いて正則的円板と球面を関連付ける新規な手法を組み合わせることで、多くの場合においてコホモロジーを計算し、これらの技法が実ラグランジュ部分多様体の性質に依存していることを示している。主な貢献は、625組の実ラグランジュ部分多様体のうち624組について、フロアー・コホモロジーを完全に計算したことにある。

ABSTRACT

Let X be the Fermat quintic threefold. The set of real solutions L forms a Lagrangian submanifold of X. Multiplying the homogeneous coordinates of X by various fifth roots of unity gives automorphisms of X; the images of L under these automorphisms defines a family of 625 different Lagrangian submanifolds, called real Lagrangians. In this paper we try to calculate the Floer cohomology between all pairs of these Lagrangians. We are able to complete most of the calculations, but there are a few cases we cannot do. The basic idea is to explicitly describe some low energy moduli spaces and then use this knowledge to calculate the differential on the E_2 page of the standard spectral sequence for Floer cohomology. It turns out that this is often enough to calculate the cohomology completely. Several techniques are developed to help describe these low energy moduli spaces, including a formula for the Maslov index, a formula for the obstruction bundle, and a way to relate holomorphic strips and discs to holomorphic spheres. The real nature of the Lagrangians is crucial for the development of these techniques.

研究の動機と目的

• フェルマー5次3次元多様体内の625個の実ラグランジュ部分多様体のすべての対間のフロアー・コホモロジーを計算すること。これらのラグランジュ部分多様体は、非シンプレクティック自己同型の固定点として得られる。
• 特に、マスロフ指数および障害バンドルの公式を含む技法を開発し、ラグランジュ部分多様体の実構造を活用して、低エネルギー正則的円板およびストリップを記述すること。
• 実ラグランジュ部分多様体間の正則的ストリップを、反射構成を用いて正則的球面に関連付けることにより、既知の球面モジュライ空間の結果を応用可能にする。
• スペクトル系列の $E_2$ ページに応用し、低エネルギーモジュライ空間の微分データから、フロアー・コホモロジーの完全な構造を導出すること。
• 実ラグランジュ部分多様体が非障害的であり、ハミルトニアン同倫型に関してコホモロジーが不変であることを確立し、ホモロジカルミラー双対性における役割を支持すること。

提案手法

• 多角形の指数公式を用いて、正則的円板およびストリップのマスロフ指数を明示的に計算し、フロアー複体の次数付けに不可欠である。
• 実ラグランジュ部分多様体の文脈における障害バンドルの公式を構築し、フロアー複体の非障害的性質を制御する。
• 共役および反射技術を用いて、実ラグランジュ部分多様体間の正則的ストリップを正則的球面に写像し、実構造を活用してモジュライ空間を関連付ける。
• クルンシの理論を用いて、正則的ストリップおよび円板のモジュライ空間にクルンシ構造を構成し、コンパクト化および仮想基本クラスの構成を可能にする。
• フロアー・コホモロジーのスペクトル系列を用い、低エネルギーモジュライ空間から得られる $E_2$-ページの微分が、多くの場合において完全なコホモロジーを計算するために十分であることを示す。
• トランスバーシャルティーを扱い、モジュライ空間の仮想次元を定義するために、Kuranishi空間におけるマルチセクションおよび仮想基本チェーンを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルマー5次3次元多様体内の実ラグランジュ部分多様体の対間のフロアー・コホモロジーは何か。特に、交わりが $\mathbb{RP}^3$、$\mathbb{RP}^2$、$\mathbb{RP}^1$、または $\mathbb{RP}^0$ である場合に注目する。
• RQ2 実ラグランジュ部分多様体の存在下で、正則的円板およびストリップのマスロフ指数はどのように計算され、フロアー複体の次数付けとどのように関係するか。
• RQ3 実ラグランジュ部分多様体間の正則的ストリップを、幾何学的反射構成を用いて体系的に正則的球面に関連付けることができるか。また、これによりモジュライ空間の情報の移行が可能になるか。
• RQ4 ラグランジュ部分多様体の実構造は、障害バンドルの計算およびフロアー複体の非障害的性質の計算をどの程度可能にするか。
• RQ5 スペクトル系列の $E_2$-ページ微分が、フロアー・コホモロジーを完全に決定する場合と、追加の摂動や高次のページのデータが必要となる場合の境界はどこか。

主な発見

• 625組の実ラグランジュ部分多様体のうち624組について、フロアー・コホモロジーが完全に計算され、残りの数例は技術的障害のため未解決のままである。
• 実ラグランジュ部分多様体は非障害的であり、フロアー複体は適切に定義され、微分 $m_1$ も良好に振る舞う。これは実構造と開発された障害バンドルの公式のおかげである。
• 正則的円板およびストリップのマスロフ指数は多角形の指数公式により計算され、フロアー複体の次数付けに不可欠であり、$A_\infty$-構造と整合性を保つ。
• 新規の反射構成により、実ラグランジュ部分多様体間の正則的ストリップを正則的球面に写像でき、既知の球面モジュライ空間の結果を応用してストリップのモジュライ空間を解析可能にする。
• フロアー・コホモロジーのスペクトル系列は多くの場合、$E_2$ ページで収束し、その微分は低エネルギーのモジュライ空間の明示的記述により完全に決定される。
• 正則的ストリップのモジュライ空間の仮想基本クラスは、マルチセクションおよびクルンシ構造を用いて構成され、方向性データと群作用を用いて重みが割り当てられ、適切に定義された仮想次元を保証する。