[論文レビュー] Homological mirror symmetry without corrections

Mohammed Abouzaid|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、閉じたシンプレクティック多様体 $X$ にラグランジュ・トーラスファイブレーションを持つ、同型的に遮断されないグレーデッドラグランジュ部分多様体のフクヤカ・カテゴリーを、コンツェビッチ＝ソイベルマンの $T$-双対によって構成された剛体的解析的空間 $Y$ 上のねじれ係数付き両立層の導来カテゴリ－に、完全忠実な埋め込みとして確立する。主な進展は、$ \pi_2(Q) = 0$ の条件下で、家族フロアー写像の上への性質を証明し、バウンディング・コチェーンの必要性を排除することで、タートのアセイクロニシティと無限ランク局所系を用いた直接的なミラー対称性の構成を可能にすることにある。

ABSTRACT

Let $X$ be a closed symplectic manifold equipped a Lagrangian torus fibration over a base $Q$. A construction first considered by Kontsevich and Soibelman produces from this data a rigid analytic space $Y$, which can be considered as a variant of the $T$-dual introduced by Strominger, Yau, and Zaslow. We prove that the Fukaya category of tautologically unobstructed graded Lagrangians in $X$ embeds fully faithfully in the derived category of (twisted) coherent sheaves on $Y$, under the technical assumption that $π_2(Q)$ vanishes (all known examples satisfy this assumption). The main new tool is the construction and computation of Floer cohomology groups of Lagrangian fibres equipped with topological infinite rank local systems that correspond, under mirror symmetry, to the affinoid rings introduced by Tate, equipped with their natural topologies as Banach algebras.

研究の動機と目的

• ラグランジュ・トーラスファイブレーションを持つシンプレクティック多様体 $X$ 内の同型的に遮断されないグレーデッドラグランジュ部分多様体のフクヤカ・カテゴリ－を、ミラーの剛体的解析的空間 $Y$ 上のねじれ係数付き両立層の導来カテゴリ－に完全忠実に埋め込むこと。
• そのようなラグランジュ部分多様体に対して、家族フロアー写像が全射であることを証明することで、既知の単射性結果を完全忠実性へと強化すること。
• すべてのホロモルフィックディスクが定数であることを保証する $ \pi_2(Q) = 0$ の仮定により、フロアー理論におけるバウンディング・コチェーンの必要性を排除すること。
• タートのアフィノイド環とバナッハ代数位相を備えたものに対応する、無限ランク局所系を備えたラグランジュ・ファイバーのフロアー・コホモロジー群の構成と計算を行うこと。

提案手法

• ラグランジュ・トーラスファイブレーション $X \to Q$ から、コンツェビッチ＝ソイベルマンの $T$-双対構成法を用いて剛体的解析的空間 $Y$ を構成する。
• $\pi_2(Q)$ の消滅を用いて、ファイバーが包図するすべてのホロモルフィックディスクが定数であることを保証し、フロアー理論におけるバウンディング・コチェーンの必要性を排除する。
• ミラー対称性の下で、タートのアフィノイド環とその自然なバナッハ代数位相に対応する、ラグランジュ・トーラスファイバー上の無限ランク局所系を導入する。
• タートのアセイクロニシティ定理を適用して、ねじれ係数付きコホモロジー群を計算し、フロアー理論的データから $Y$ 上の両立層の構成を可能にする。
• 各グレーデッドラグランジュ部分多様体 $L$ に対して、$Y$ 上の正則的複体の層 $\mathcal{L}_L$ を割り当てる家族フロアー函手を確立し、その射の空間における全射性を証明する。
• 半直交分解とバイモジュール構造を用いて、ミラー空間の異なる被覆上のモジュールカテゴリを比較し、像がねじれ係数付き両立層の導来カテゴリ－に属することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同型的に遮断されないグレーデッドラグランジュ部分多様体のフクヤカ・カテゴリ－からミラー空間 $Y$ 上の両立層の導来カテゴリ－への家族フロアー写像が全射であることを示せるか？
• RQ2 $\pi_2(Q) = 0$ の仮定は、ラグランジュ・トーラスファイブレーションにおけるフロアー理論でバウンディング・コチェーンの必要性を排除するのに十分か？
• RQ3 ラグランジュ・ファイバー上の無限ランク局所系を用いて、ミラーにおいてタートのアフィノイド環をモデル化できるか？ また、それらは well-defined な両立層を $Y$ 上に与えるか？
• RQ4 家族フロアー函手は構成における選択に依存せず、正しいねじれ係数付き両立層の部分カテゴリに値をとるか？
• RQ5 与えられた幾何的制約の下で、$Y$ 上のねじれ係数付き両立層の導来カテゴリ－が、フクヤカ・カテゴリ－から完全忠実な函手の像として実現可能か？

主な発見

• 仮定 $\pi_2(Q) = 0$ の下で、すべてのグレーデッドラグランジュ部分多様体 $L, L'$ に対して、家族フロアー写像 $HF^*(L, L') \to H^*(Y; \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{L}_{L'}, \mathcal{L}_L))$ は全射である。
• ラグランジュ・トーラスファイブレーションを持つシンプレクティック多様体 $X$ 内の同型的に遮断されないグレーデッドラグランジュ部分多様体のフクヤカ・カテゴリ－は、$\beta$-ねじれ係数付き両立層の導来カテゴリ－に完全忠実に埋め込まれる。ここで $\beta$ は $H^2(Y, \mathcal{O}_Y^*)$ によって分類されるゲルベである。
• 無限ランク局所系を備えたラグランジュ・ファイバーのフロアー・コホモロジー群の構成は well-defined であり、ミラー対称性の下でバナッハ代数位相を備えたタートのアフィノイド環の構造層に対応する。
• タートのアセイクロニシティ定理を適用して、ある種のねじれ係数付きコホモロジー群が消えることを示し、これが家族フロアー写像の全射性を証明するために不可欠である。
• 家族フロアー函手の像は、条件式 (D.6) を満たす完全モジュールの部分カテゴリに属し、これによりねじれ係数付き両立層の導来カテゴリ－に値をとることが保証される。
• グレーデッドラグランジュ部分多様体への制限は、特に第 4.3 節で技術的根拠が必要となるが、著者らはエネルギーフィルトレーションの洗練を用いればこの条件を除去可能と予想している。