[論文レビュー] Flopping and Slicing: SO(4) and Spin(4)-models

Mboyo Esole, Monica Jinwoo Kang|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、SO(4)およびSpin(4)ゲージ理論の幾何学的エンジニアリングを、A1特異点が重なったWeierstrassモデルの正則解消を通じて研究し、8種類の異なる装飾付きKodaira特異点配置を同定した。本稿は、Spin(4)に対してはMordell–Weil群が自明であり、SO(4)に対してはℤ/2ℤであることを確立し、Calabi-Yau3-foldのオイラー標数およびホッジ数を計算し、グリーン＝シュヴァルツ機構による6次元超対称理論における異常キャンセレーションを確認した。

ABSTRACT

We study the geometric engineering of gauge theories with gauge group Spin(4) and SO(4) using crepant resolutions of Weierstrass models. The corresponding elliptic fibrations realize a collision of singularities corresponding to two fibers with dual graph the affine $A_1$ Dynkin diagram. There are eight different ways to engineer such collisions using decorated Kodaira fibers. The Mordell-Weil group of the elliptic fibration is required to be trivial for Spin(4) and Z/2Z for SO(4). Each of these models have two possible crepant resolutions connected by a flop. We also compute a generating function for the Euler characteristic of such elliptic fibrations over a base of arbitrary dimensions. In the case of a threefold, we also compute the triple intersection numbers of the fibral divisors. In the case of Calabi-Yau threefolds, we also compute their Hodge numbers, and check the cancellations of anomalies in a six-dimensional supergravity theory.

研究の動機と目的

• SO(4)およびSpin(4)ゲージ群に対応する、重なったA1特異点を実現するWeierstrassモデルのすべての可能な正則解消を分類すること。
• Mordell–Weil群がグローバルゲージ群構造をどのように区別するかを特定すること。特に、Spin(4)に対しては自明群、SO(4)に対してはℤ/2ℤである。
• 任意の基底次元における楕円曲線ファイブレーションのオイラー標数、ホッジ数、三重交差数といった位相的不変量を計算すること。
• グリーン＝シュヴァルツ機構を用いて、6次元N=(1,0)超対称理論のコンpactificationにおける異常キャンセレーションを検証すること。
• 特異ファイバーを支持する曲線上の交差理論および種数公式を用いて、ハイパーマトリックス表現の幾何的導出を提供すること。

提案手法

• 8種類の異なる装飾付きファイバー型に分類される、Kodaira型̃A1特異点を有するWeierstrassモデルを構築する。
• フェロップを介して接続された正則解消を用い、特異点を解消するとともに、標準類を保存することでCalabi-Yau条件を満たす。
• 任意の次元の基底上で、基底次元、L、S、T、Kに依存する生成関数を用いて、解消された多様体のオイラー標数をプッシュフォワード公式により計算する。
• 解消されたファイブレーション上の交差理論を用いて、Calabi-Yau3-foldにおけるファイバー的除集合の三重交差数を導出する。
• Wittenの種数公式を適用し、特異ファイバーを支持する曲線SおよびTのアーベル多様体の数を算出する。
• 異常多項式が完全平方であることを示すことで、6次元超対称理論における異常キャンセレーションを検証し、グリーン＝シュヴァルツ機構を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Weierstrassモデル内で2つの̃A1特異点ファイバーがどのように重なることができるか。その装飾付きファイバー構成は何か。
• RQ2 Mordell–Weil群は、SO(4)とSpin(4)の両者において、グローバルゲージ群構造をどのように決定するか。
• RQ3 解消されたファイブレーションのオイラー標数およびホッジ数は、基底幾何と特異ファイバーのデータにどのように依存するか。
• RQ4 5次元および6次元コンパクト化におけるハイパーマトリックスの数は、交差理論および種数公式から幾何的に導出可能か。
• RQ5 6次元超対称理論の異常多項式I₈は完全平方か。これにより、グリーン＝シュヴァルツ機構による完全な異常キャンセレーションが確認されるか。

主な発見

• 2つの̃A1特異点ファイバーの衝突を実現するWeierstrassモデルにおいて、正確に8種類の異なる装飾付きKodairaファイバー構成が存在する。
• Spin(4)-モデルではMordell–Weil群が自明であり、SO(4)-モデルではℤ/2ℤである。これは、両者のグローバルゲージ群構造を区別する。
• 正則解消のオイラー標数は、基底次元、L、S、T、Kに依存する生成関数を用いて計算される。
• Calabi-Yau3-foldでは、ホッジ数がh^{1,1} = 9 - K²およびh^{2,1} = 29K² + 15KS + 15KT + 3S² + 4ST + 3T² + 13として計算される。
• 6次元におけるハイパーマトリックスの数はn_H = 29K² + 15KS + 15KT + 3S² + 4ST + 3T² + 13で与えられ、ベクトルmultiplet数n_V^{(6)} = 6、テンソルmultiplet数n_T = 9 - K²である。
• 異常多項式I₈は完全平方である：I₈ = ½(½K trR² + 2S tr²F²₁ + 2T tr²F²₂)²。これにより、6次元超対称理論における完全な異常キャンセレーションが確認された。