[论文解读] Fourier-sparse interpolation without a frequency gap

Xuebo Chen, Daniel M. Kane+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 3被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种新颖的傅里叶稀疏信号插值算法，无需最小频率间隔要求，可在 $\ell_2$-有界噪声下实现鲁棒恢复。该方法利用多项式逼近、哈希函数和基于滤波的频率聚类，以 $\operatorname{poly}(k,\log(1/\delta))\cdot\log(FT)$ 个样本和恒定噪声放大率，估计 $k$-傅里叶稀疏信号，即使频率任意接近也能实现。

ABSTRACT

We consider the problem of estimating a Fourier-sparse signal from noisy samples, where the sampling is done over some interval $[0, T]$ and the frequencies can be "off-grid". Previous methods for this problem required the gap between frequencies to be above 1/T, the threshold required to robustly identify individual frequencies. We show the frequency gap is not necessary to estimate the signal as a whole: for arbitrary $k$-Fourier-sparse signals under $\ell_2$ bounded noise, we show how to estimate the signal with a constant factor growth of the noise and sample complexity polynomial in $k$ and logarithmic in the bandwidth and signal-to-noise ratio. As a special case, we get an algorithm to interpolate degree $d$ polynomials from noisy measurements, using $O(d)$ samples and increasing the noise by a constant factor in $\ell_2$.

研究动机与目标

• 解决现有傅里叶稀疏插值方法中要求频率间隔最小为 $1/T$ 才能实现鲁棒恢复的局限性。
• 设计一种算法，可在不依赖频率分离的前提下，从 $\ell_2$-有界噪声中估计 $k$-傅里叶稀疏信号。
• 实现样本复杂度在 $k$ 上为多项式、在带宽和信噪比上为对数的复杂度，且噪声放大率恒定。
• 将该方法扩展至使用 $O(d)$ 个样本和恒定噪声增长，从噪声采样中插值 $d$ 次多项式。

提出的方法

• 使用多项式逼近框架将 $k$-傅里叶稀疏信号表示为 $d$ 次多项式，从而实现鲁棒插值。
• 利用哈希函数和滤波函数对邻近频率进行聚类，将问题转化为单簇信号恢复任务。
• 应用具有集中界约束的鲁棒多项式插值算法，从 $O(k)$ 个样本中估计信号，即使存在噪声。
• 通过 $O(k)$ 个并行运行和中位数聚合的增强技术，将成功概率提升至 $1 - 2^{-\Omega(k)}$。
• 利用格拉姆矩阵行列式界和扰动分析，确保在频率对齐偏差下的稳定性。
• 通过滤波和子空间逼近，将 $k$-聚类信号恢复问题转化为一系列单簇信号恢复任务。

Figure 1: A picture of a $\operatorname{Comb}_{s}$ , $\operatorname{rect}_{s}$ , $\operatorname{sinc}_{s}$ , $\operatorname{Gaussian}_{\mu,\sigma}$ .

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖信号分量之间最小频率间隔的前提下实现傅里叶稀疏信号插值？
• RQ2 在任意频率间距下，是否可能实现 $k$-傅里叶稀疏信号在 $\ell_2$ 范数下的恒定噪声放大？
• RQ3 是否可以使用 $O(d)$ 个噪声采样，以恒定噪声增长在 $\ell_2$ 范数下鲁棒地插值 $d$ 次多项式？
• RQ4 如何在保持低样本复杂度的前提下，将成功概率提升至 $1 - 2^{-\Omega(k)}$？
• RQ5 即使频率未充分分离，是否仍能以信号平均范数和噪声的函数形式有界信号估计误差？

主要发现

• 该算法以高概率 $1 - 2^{-\Omega(k)}$ 实现 $\left\|\widetilde{x} - x^*\right\|_T \lesssim \left\|g\right\|_T + \delta\left\|x^*\right\|_T$，即使无频率间隔亦成立。
• 样本复杂度为 $\operatorname{poly}(k,\log(1/\delta)) \cdot \log(FT)$，在 $k$ 上为多项式，在带宽和信噪比上为对数。
• 噪声放大率受常数因子限制，与 $k$、$F$ 或 $T$ 无关，从而实现对小噪声的鲁棒性。
• 该方法可从 $O(d)$ 个样本中以 $\ell_2$ 范数下的恒定噪声增长恢复 $d$ 次多项式。
• 通过 $O(k)$ 个并行运行和基于中位数的估计聚合，成功概率被提升至 $1 - 2^{-\Omega(k)}$。
• 输出 $\widetilde{x}(t)$ 是一个 $\operatorname{poly}(k,\log(1/\delta))$-傅里叶稀疏信号，确保了高效的表示。

Figure 2: The filter function $(H(t),\widehat{H}(f))$ with a $k$ -Fourier-sparse signal. The property \@slowromancap i@, \@slowromancap ii@ and \@slowromancap iii@ are presented in the bottom one, the property \@slowromancap iv@ is presented in the top one.