[論文レビュー] Fractional Schrödinger-Poisson systems with a general subcritical or critical nonlinearity

Jianjun Zhang, João Marcos do Ó+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、一般の臨界的または臨界的でない非線形性を有する分数マクロシュレーディンガー＝ポアソン系に対して、アムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件を要しない正の径数解の存在を確立する。摂動法と変分法を用いて、$\lambda > 0$ が小さいとき、解が存在し、$\lambda \to 0$ の際に制限された分数スカラー場方程式の基底状態に収束することを示す。本結果は、非線形性のクラスおよび分数的微分作用素の範囲を拡張した既存の研究を拡張する。

ABSTRACT

We consider a fractional Schrödinger-Poisson system with a general nonlinearity in subcritical and critical case. The Ambrosetti-Rabinowitz condition is not required. By using a perturbation approach, we prove the existence of positive solutions. Moreover, we study the asymptotics of solutions for a vanishing parameter.

研究の動機と目的

• 一般の臨界的または臨界的でない非線形性を有する分数マクロシュレーディンガー＝ポアソン系に対して、非自明な正の径数解の存在を確立すること。
• このような系の変分的取り扱いにおいてしばしば仮定されるアムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件の必要性を排除すること。
• 結合パラメータ $\lambda \to 0^+$ の際の解の漸近的挙動を分析し、制限された分数スカラー場方程式の基底状態解への収束を示すこと。
• 分数マクロシュレーディンガー＝ポアソン系に関する既存の結果を、より一般の非線形性および分数的次数にまで拡張すること。

提案手法

• 一般非線形性を有する分数マクロシュレーディンガー＝ポアソン系を扱うために摂動法を用い、アムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件の必要性を回避する。
• 分数ソボレフ空間 $H^s(\mathbb{R}^3)$ およびポアソンポテンシャルのための空間 $\mathcal{D}^{t,2}(\mathbb{R}^3)$ の枠組みにおいて変分法を用いる。
• エネルギー汎関数の臨界点を特定するために、族 $\Upsilon_\lambda$ を用いて最小最大値 $C_\lambda^1$ を定義する。
• コンパクト性の議論と $\lambda \to 0^+$ の極限的解析を通じて勾配推移の推移を適用し、$H^s(\mathbb{R}^3)$ における収束に依存する。
• ポホジャーエフの恒等式と正則性結果を用いて、ベレスティンスキー＝ライオンズ条件の必要性を正当化し、基底状態への収束を保証する。
• 臨界ケースでは、濃縮・コンパクト性原理と弱収束の議論を用いて一様な有界性と収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の臨界的または臨界的でない非線形性を有する分数マクロシュレーディンガー＝ポアソン系は、アムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件を要しない正の径数解を有するか？
• RQ2 結合パラメータ $\lambda \to 0^+$ の際、解の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 分数的次数 $s$ と $t$ の間の相互作用が解の存在にどのように影響するか？
• RQ4 $\lambda \to 0^+$ の際に、制限された分数スカラー場方程式の基底状態解が回復可能か？
• RQ5 非線形性 $g(u)$ にどのような条件を課せば、分数的設定における解の存在性とコンパクト性を保証できるか？

主な発見

• Berestycki-Lions 条件 $(H1)$--$(H4)$ および制約 $2t + 4s \geq 3$ の下で、$\lambda \in (0, \lambda_0)$（$\lambda_0 > 0$）に対して、非自明な正の径数解 $(u_\lambda, \phi_\lambda)$ が存在する。
• $\lambda \to 0^+$ の際に、部分列をとれば、$(u_\lambda, \phi_\lambda)$ は $H^s(\mathbb{R}^3) \times \mathcal{D}^{t,2}(\mathbb{R}^3)$ において $(u, 0)$ に収束する。ここで $u$ は制限方程式 $(-\Delta)^s u = g(u)$ の径数基底状態解である。
• エネルギー汎関数に関連する最小最大値 $C_\lambda^1$ は、$\lim_{\lambda \to 0^+} C_\lambda^1 = m$ を満たす。ここで $m$ は制限方程式の最小エネルギー準位である。
• 小さい $\lambda > 0$ に対して、エネルギー汎関数の勾配は、特定の下位集合上で $\|\Gamma_\lambda'(u)\|_s \geq \omega_1 > 0$ を満たし、パライス＝スモールスキー列の存在を保証する。
• $\lambda \to 0^+$ の際に、$d > 0$ が十分に小さいとき、解 $u_\lambda$ は $H^s(\mathbb{R}^3)$ において非自明な極限 $u_1 \in S_1$ に強く収束する。
• 臨界ケースは最小最大スキームと濃縮・コンパクト性原理によるコンパクト性を用いて取り扱われ、極限において非自明な解が得られる。