[论文解读] Fractional White-Noise Limit and Paraxial Approximation for Waves in Random Media

Christophe Gomez, Olivier Pinaud|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2015

Ocean Waves and Remote Sensing参考文献 40被引用 6

一句话总结

本文严格推导出分数阶 Itô-Schrödinger 方程，作为在具有长程相关性的随机介质中高频波传播的联合傍轴极限与白噪声极限的结果。通过结合矩方法分析，并对背向散射和倏逝模态进行细致处理，该文在分数阶白噪声波动下建立了收敛性，将经典结果扩展至标准扩散近似失效的长程相关介质中。

ABSTRACT

This work is devoted to the asymptotic analysis of high frequency wave propagation in random media with long-range dependence. We are interested in two asymptotic regimes, that we investigate simultaneously: the paraxial approximation, where the wave is collimated and propagates along a privileged direction of propagation, and the white-noise limit, where random fluctuations in the background are well approximated in a statistical sense by a fractional white noise. The fractional nature of the fluctuations is reminiscent of the long-range correlations in the underlying random medium. A typical physical setting is laser beam propagation in turbulent atmosphere. Starting from the high frequency wave equation with fast non-Gaussian random oscillations in the velocity field, we derive the fractional It\\^o-Schr\\"odinger equation, that is a Schr\\"odinger equation with potential equal to a fractional white noise. The proof involves a fine analysis of the backscattering and of the coupling between the propagating and evanescent modes. Because of the long-range dependence, classical diffusion-approximation theorems for equations with random coefficients do not apply, and we therefore use moment techniques to study the convergence.

研究动机与目标

• 严格推导具有长程相关性的随机介质中波传播的傍轴近似。
• 当相关性衰减缓慢时，将经典白噪声极限推广至分数阶白噪声。
• 解决在长程相关设定下标准扩散近似定理失效的问题。
• 在高频波的单一渐近 regime 中统一傍轴极限与白噪声极限。
• 为具有持久相关性的湍流大气中激光束传播建模，提供数学上严谨的框架。

提出的方法

• 使用高频渐近法，将亥姆霍兹方程在傍轴区域约化为类薛定谔演化方程。
• 应用矩技术分析收敛性，避免依赖鞅方法或经典扩散近似定理。
• 将随机波动建模为分数阶白噪声，以捕捉介质中的长程依赖性。
• 对背向散射及传播模态与倏逝模态之间的耦合进行详细分析。
• 采用能量估计与索伯列夫嵌入，控制原始解与极限解之间的差异。
• 利用傅里叶分析与初始数据的紧支集假设，推导出高频极限下的一致有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当在具有长程相关性的介质中，傍轴近似与白噪声极限相结合时，其行为如何？
• RQ2 当介质波动表现出长程依赖性时，波传播的正确极限方程是什么？
• RQ3 为什么经典 Itô-Schrödinger 方程在长程相关性区域内失效，以及如何对其进行推广？
• RQ4 矩方法能否在具有随机系数的波方程收敛性分析中替代鞅方法？
• RQ5 背向散射与倏逝模态在收敛至分数阶 Itô-Schrödinger 方程的过程中起什么作用？

主要发现

• 极限方程为分数阶 Itô-Schrödinger 方程，其中势能为分数阶白噪声，能够捕捉介质中的长程相关性。
• 由于长程依赖性，经典扩散近似定理不再适用，因此需要基于矩技术的新分析方法。
• 背向散射及传播模态与倏逝模态之间的耦合至关重要，必须仔细分析以确保收敛性。
• 在联合傍轴与白噪声极限下，原始波方程的解以 $ L^2 $-范数收敛于分数阶 Itô-Schrödinger 方程的解。
• 建立了统一有界性 $ \big\backslash\text{sup}_{(t,z)\times\text{R}} \|v(t,z,\cdot)\|_{L^2(\mathbb{R}^2)} \leq C\alpha_\varepsilon^{1/2} $，确认了收敛速率。
• 该分析证实，只要使用分数阶白噪声极限，傍轴近似在长程相关波动存在的情况下依然有效。