[論文レビュー] Free Subshifts with Invariant Measures from the Lovász Local Lemma

Anton Bernshteyn|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2017

Cellular Automata and Applications参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、可測Lovász局部補題（mLLL）を用いた簡潔な証明を提示し、任意の可算無限群Γに対して、{0,1}^Γ 上の自由な部分符号が、不変確率測度を支持することを示している。この構成法により、任意の空でない不変開集合内にもこのような部分符号が存在することが保証され、与えられた適切な部分符号を避けることができ、確率的組合せ論を用いた不変測度の構成に向け、強固で一般性の高い手法が得られる。

ABSTRACT

Gao, Jackson, and Seward (see arXiv:1201.0513) proved that every countably infinite group $Γ$ admits a nonempty free subshift $X \subseteq \{0,1\}^Γ$. Furthermore, a theorem of Seward and Tucker-Drob (see arXiv:1402.4184) implies that every countably infinite group $Γ$ admits a free subshift $X \subseteq \{0,1\}^Γ$ that supports an invariant probability measure. Aubrun, Barbieri, and Thomassé (see arXiv:1507.03369) used the Lovász Local Lemma to give a short alternative proof of the Gao--Jackson--Seward theorem. Recently, Elek (see arXiv:1702.01631) followed another approach involving the Lovász Local Lemma to obtain a different proof of the existence of free subshifts with invariant probability measures for finitely generated sofic groups. Using the measurable version of the Lovász Local Lemma for shift actions established by the author (see arXiv:1604.07349), we give a short alternative proof of the existence of such subshifts for arbitrary groups. Moreover, we can find such subshifts in any nonempty invariant open set.

研究の動機と目的

• 任意の可算無限群に対して、自由部分符号が不変確率測度を有することの短く一般的な証明を提供すること。
• Lovász局部補題を用いてAubrun–Barbieri–Thomasséの証明を拡張し、不変測度を含めること。
• 与えられた適切な部分符号から離れて、このような部分符号を構成できることを示すこと。
• 任意の空でない不変開部分集合 {0,1}^Γ 内でこの方法が有効であることを示すこと。
• シフト作用における可測LLLを用いて、同時に不変性と自由性を達成すること。

提案手法

• 群Γ上の{0,1}^Γ におけるシフト作用に可測Lovász局部補題（mLLL）を適用し、制約系の解を構成する。
• 群Γ上のLLLのインスタンスBを定義し、適切な部分符号Yからの制約と、非自明な群元からの制約を組み合わせて自由性を強制する。
• 有限領域S ∈ dom(B) に確率p(S) を割り当てることで、正しいインスタンスBを構成し、LLL条件(2.1)を満たすようにする。
• 2段階の確率割り当てを用いる：基本制約集合B₀には1/k²N²を、群元γₙからの制約にはaⁿ⁺ᴹを割り当てる。
• 十分に大きなNとMを選んで無限積の収束を活用し、LLL不等式内の積項が十分に減衰するようにする。
• 解集合Sol(B) が空でなく、閉集合であり、不変かつ自由であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算無限群すべてに対して、確率的メソッドを用いて、不変測度を有する自由部分符号の存在を一様に証明できるか？
• RQ2 任意の空でない不変開部分集合 {0,1}^Γ 内で、このような部分符号を構成できるか？
• RQ3 与えられた適切な部分符号を避けつつ、不変性と自由性を保ったまま構成可能か？
• RQ4 可測LLLをシフト作用に効果的に適用することで、測度の不変性と自由性の両方を保証するにはどうすればよいか？
• RQ5 無限群設定下でLLL条件が満たされるための確率割り当ての条件は何か？

主な発見

• 本稿では、任意の可算無限群Γに対して、閉集合かつ不変で自由な部分符号X ⊆ {0,1}^Γ が存在し、それが不変確率測度を支持することを確立している。
• このような部分符号は、{0,1}^Γ の任意の空でない不変開部分集合内に構成可能であり、強力な位相的柔軟性を有する。
• 構成法は、与えられた適切な部分符号Y ⊊ {0,1}^Γ を明示的に避けることができ、自由で不変な部分符号が、このような適切な部分集合の外側にも存在することを示している。
• LLLの正しいインスタンスを、有限領域すべてに対してLLL条件(2.1)を満たすように慎重に選んだ確率割り当てp(S) により構築している。
• 無限積の減衰制御によりLLL不等式を満たすことで、解集合Sol(B) が空でなく、閉集合であり、不変かつ自由であることが保証される。
• Aubrun, Barbieri, ThomasséおよびElekの従来の構成を一般化し、すべての可算群にわたる自由部分符号における不変測度の存在を統一的に示している。