[论文解读] Fully-Functional Static and Dynamic Succinct Trees

Gonzalo Navarro, Kunihiko Sadakane|arXiv (Cornell University)|May 6, 2009

Algorithms and Data Compression参考文献 43被引用 12

一句话总结

本文提出了一种新颖的范围最小-最大树数据结构，可在接近最优空间（2n + o(n)位）下实现完全功能的静态和动态紧凑序数树。通过将复杂的树操作简化为对小型子树的若干常数时间原语，该结构在大多数动态操作中实现了最优的O(log n / log log n)时间复杂度，并显著降低了先前工作的冗余度，其应用涵盖压缩序列、BWT构造以及动态秩/选择查询。

ABSTRACT

We propose new succinct representations of ordinal trees, which have been studied extensively. It is known that any $n$-node static tree can be represented in $2n + o(n)$ bits and a number of operations on the tree can be supported in constant time under the word-RAM model. However the data structures are complicated and difficult to dynamize. We propose a simple and flexible data structure, called the range min-max tree, that reduces the large number of relevant tree operations considered in the literature to a few primitives that are carried out in constant time on sufficiently small trees. The result is extended to trees of arbitrary size, achieving $2n + O(n /\polylog(n))$ bits of space. The redundancy is significantly lower than any previous proposal. Our data structure builds on the range min-max tree to achieve $2n+O(n/\log n)$ bits of space and $O(\log n)$ time for all the operations. We also propose an improved data structure using $2n+O(n\log\log n/\log n)$ bits and improving the time to the optimal $O(\log n/\log \log n)$ for most operations. Furthermore, we support sophisticated operations that allow attaching and detaching whole subtrees, in time $\Order(\log^{1+ε} n / \log\log n)$. Our techniques are of independent interest. One allows representing dynamic bitmaps and sequences supporting rank/select and indels, within zero-order entropy bounds and optimal time $O(\log n / \log\log n)$ for all operations on bitmaps and polylog-sized alphabets, and $O(\log n \log σ/ (\log\log n)^2)$ on larger alphabet sizes $σ$. This improves upon the best existing bounds for entropy-bounded storage of dynamic sequences, compressed full-text self-indexes, and compressed-space construction of the Burrows-Wheeler transform.

研究动机与目标

• 解决现有高效、灵活且紧凑的动态树数据结构在支持插入和删除等完整操作集方面的不足。
• 降低现有紧凑树表示的冗余度，这些表示通常需要较大的低阶项（如O(n log log n / √log n)）。
• 实现动态树操作的最优O(log n / log log n)时间复杂度，该复杂度已被证明是基本操作的紧致界限。
• 将该框架扩展至支持复杂操作（如子树附着/分离）以及在零阶熵边界内实现动态序列表示。
• 提供一种统一方法，改进压缩文本索引、Burrows-Wheeler变换构造以及动态压缩序列的现有边界。

提出的方法

• 引入范围最小-最大树作为核心数据结构，支持对大小为O(polylog n)的小型子树实现常数时间操作。
• 将范围最小-最大树作为构建模块，递归处理更大规模的树，通过小型子树原语实现在整棵树上的常数时间操作。
• 将范围最小-最大树应用于序数树的括号表示（BP），以高效支持深度、findopen、findclose和enclose等操作。
• 通过维护支持插入和删除操作的动态范围最小-最大树，将静态结构扩展为动态树，时间复杂度为O(log n)，并进一步优化以实现O(log n / log log n)的时间复杂度。
• 利用该框架解决相关问题：动态数组的和/查找、动态压缩序列以及压缩BWT构造，所有操作均在熵边界内完成。
• 通过平衡序列中秩/选择操作的下界证明空间最优性，表明冗余度2n + o(n)对于某些操作是最优的。

实验结果

研究问题

• RQ1 紧凑的序数树数据结构是否能够以显著降低的冗余度，在常数时间内支持所有基本操作（如子节点、祖先、子树大小）？
• RQ2 是否可能设计一种动态紧凑树结构，支持在接近最优时间内完成插入、删除和导航操作，同时保持空间效率？
• RQ3 范围最小-最大树抽象是否能够统一并简化静态与动态环境下复杂树操作的实现？
• RQ4 支持动态树操作在O(log n / log log n)时间内完成的最小冗余度是多少？是否能通过实用且可组合的数据结构实现？
• RQ5 如何利用紧凑树表示来改进动态序列、压缩文本索引以及BWT构造等压缩数据结构？

主要发现

• 静态范围最小-最大树的空间复杂度为2n + O(n / polylog(n))位，支持所有标准树操作在常数时间内完成，与先前工作相比显著降低了冗余度。
• 对于动态树，该方法在使用2n + O(n / log n)位空间时，所有操作的时间复杂度为O(log n)；其优化变体使用2n + O(n log log n / log n)位空间，实现O(log n / log log n)时间复杂度。
• 该数据结构支持子树附着与分离等高级操作，时间复杂度为O(log^{1+ε} n)（对任意ε > 0），支持灵活的动态树操作。
• 该框架实现了动态数组和/查找操作的最优O(log n / log log n)时间复杂度，并在零阶熵边界内支持动态压缩序列。
• 该方法将Burrows-Wheeler变换构造的时间复杂度优化至o(n log² n)，同时保持压缩空间，优于先前方法。
• 本文证明了在平衡括号序列中，对于某些操作（如秩/选择），冗余度2n + o(n)是最优的，从而确认了所提结构的空间效率。