[論文レビュー] Fundamental solution of Fokker - Planck equation

Igor A. Tanski|ArXiv.org|Jul 4, 2004

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、位置と速度空間における併用拡散および速度に依存する減衰を受ける非相互作用粒子の3次元フォッカー・プランク方程式の正確な基本解を導出する。フーリエ変換および特性線法を用いて、時間に依存する係数を明示的に持つガウス型解を構築し、対称性解析および直接代入による検証により妥当性を確認した。この解は、位置と速度空間における初期デルタ関数分布の時間発展を記述する。

ABSTRACT

Fundamental solution of Fokker - Planck equation is built by means of the Fourier transform method. The result is checked by direct calculation. Changes: missed factor in (29), (30), corrected (31), (35), removed former (36), added explanation on prolonged operators (45), (46), (47).

研究の動機と目的

• 位置座標および速度座標における併用拡散を有する3次元位相空間におけるフォッカー・プランク方程式の基本解に対する正確な解析的表現を導出すること。
• 速度に比例する減衰および確率的拡散を受ける非相互作用粒子系の時間発展をモデル化すること。
• 位置空間および速度空間における初期デルタ関数分布に対する閉形式解を提供すること。
• 対称性解析および元の偏微分方程式への直接代入による検証を用いて解を検証すること。

提案手法

• フォッカー・プランク方程式にフーリエ変換を適用し、運動量空間における一階線形偏微分方程式に変換する。
• 変換された偏微分方程式を特性線法で解き、運動量 px, py, pz の3つの保存量および速度運動量と初期条件を含む3つの追加不変量を同定する。
• 特性方程式を統合し、フーリエ空間における解を導出。対応するフーリエ変換の対数を二次形式として表現する。
• 逆フーリエ変換を用い、ガウス関数の二次形式に関する既知の変換ペアと畳み込み性を活用する。
• 初期粒子の位置および速度を表すシフトされたデルタ関数と、時間に依存するガウスカーネルとの畳み込みとして、基本解を構築する。
• 半逆手法を用いて解を検証する：解にガウス型を仮定し、元のPDEに代入し、導出された係数が得られる常微分方程式系を満たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 速度に依存する減衰および位置空間と速度空間における併用拡散を有する3次元フォッカー・プランク方程式の正確な基本解は何か？
• RQ2 位置と速度空間における初期デルタ関数分布が、併用拡散および減衰の下でどのように時間発展するか？
• RQ3 フーリエ変換および特性線法を用いて解を導出し、検証できるか？
• RQ4 空間的および速度的シフトに対応する微分作用素は、フォッカー・プランク方程式の対称性をなすか？
• RQ5 直接代入により、導出された解が元のPDEを満たすか？

主な発見

• 基本解は、時間に依存する係数を有する位相空間におけるガウス関数として与えられ、減衰係数 α および拡散係数 k に明示的に依存する。
• 解は、初期位置および初期速度を反映するシフトされたデルタ関数と、時間発展するガウスカーネルとの畳み込みとして表現される。
• 空間的および速度的成分は、(1 − e^−αt)/α に比例するドリフト項を伴い、速度がゼロへと緩和され、初期速度に起因する空間的変位が生じる。
• 指数部の二次形式行列の行列式は D(t) = αt(1 − e^−2αt) − 2(1 − e^−αt)²/(2α⁴) であり、解の広がりの時間発展を支配する。
• ガウス型の解を仮定してフォッカー・プランク方程式に代入した結果得られる常微分方程式系が、導出された係数 A(t), B(t), C(t), Q(t) によって満たされることを示し、解の妥当性を確認した。
• 微分作用素 ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z および (1/α)(1 − e^−αt)∂/∂x + e^−αt ∂/∂vx（同様に y, z についても）がPDEの対称性であることが証明され、初期条件がゼロでない一般の初期位置および初期速度への一般化が可能となった。