[論文レビュー] G-Brownian Motion and Dynamic Risk Measure under Volatility Uncertainty

Shigē Péng|ArXiv.org|Nov 19, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 43被引用数 156

ひとこと要約

本稿では、古典的伊藤積分の一般化である非線形期待値枠組みを用いて、ボラティリティの不確実性下でのG・ブラウン運動と動的リスク測度を導入する。主な貢献は、G正規分布をもたらす新しい中心極限定理であり、モデルの不確実性下での金融リスクのロバストなモデリングを可能にする。非線形SDEや非線形Feynman-Kac公式への応用を含む。

ABSTRACT

We introduce a new notion of G-normal distributions. This will bring us to a new framework of stochastic calculus of Ito's type (Ito's integral, Ito's formula, Ito's equation) through the corresponding G-Brownian motion. We will also present analytical calculations and some new statistical methods with application to risk analysis in finance under volatility uncertainty. Our basic point of view is: sublinear expectation theory is very like its special situation of linear expectation in the classical probability theory. Under a sublinear expectation space we still can introduce the notion of distributions, of random variables, as well as the notions of joint distributions, marginal distributions, etc. A particularly interesting phenomenon in sublinear situations is that a random variable Y is independent to X does not automatically implies that X is independent to Y. Two important theorems have been proved: The law of large number and the central limit theorem.

研究の動機と目的

• 非線形期待値を用いたモデル不確実性下での確率積分の構築。
• 非線形期待値空間における古典的ブラウン運動の一般化としてG・ブラウン運動を定義すること。
• ボラティリティの不確実性下でG正規分布を導くG中心極限定理を確立すること。
• 非線形期待値に基づく動的リスク測度（Gリスク測度と呼ばれる）を構築すること。
• G・ブラウン運動下での伊藤積分と確率微分方程式を含む、G積分の一般化された伊藤微分積分学の構築。

提案手法

• 非線形期待値下で同一分布に従う独立同一分布の和の極限としてG正規分布を構築し、古典的中心極限定理を一般化する。
• 非線形期待値下で連続的かつ独立かつ定常増分を持つ過程としてG・ブラウン運動を定義し、その二次変動過程が独立かつ定常増分を持つことによって特徴づけられる。
• ボホナー積分と二次変動過程を用いてG伊藤積分とG伊藤の公式を構築する。
• G・マルチンゲールとG・凸関数を導入し、非線形期待値に対するジェンセン型不等式を確立する。
• G力学下でピカード反復法を用いて確率微分方程式を解く応用を行う。
• 非線形Feynman-Kac公式を導出し、G生成子を有する偏微分方程式に対する粘性解理論を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形期待値の文脈において、ボラティリティの不確実性をモデル化するには、中心極限定理をどのように一般化できるか？
• RQ2 G・ブラウン運動下での確率積分の構造は何か？ そして、古典的伊藤積分とはどのように異なるか？
• RQ3 非線形期待値から動的リスク測度を構築可能か？ また、その coherent リスク測度との関係は何か？
• RQ4 G確率微分方程式はどのように振る舞い、解の存在と一意性を保証する条件は何か？
• RQ5 G・ブラウン運動と完全非線形PDEの粘性解との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 非線形期待値下での新しい中心極限定理により、法則収束がG正規分布N(0, [σ̲², σ̄²])に収束する。ここでσ̄² = ℰ̂[X²]、σ̲² = −ℰ̂[−X²]である。
• G・ブラウン運動は、その二次変動過程⟨B⟩が独立かつ定常増分を持つという豊かな構造を有し、古典的性質を一般化する。
• G伊藤の公式が導出され、G確率積分の枠組み下で成立することが示された。これにより、G・ブラウン運動に関する伊藤積分が可能になる。
• G・ブラウン運動に従う確率微分方程式は、ピカード反復法により一意解を有し、古典的結果を拡張する。
• 非線形Feynman-Kac公式が確立され、完全非線形PDEの解がG期待値および後向きSDEと関連づけられた。
• G生成子を有するPDEに対する粘性解理論が発展し、劣解と上位解の比較定理および支配定理が確立された。