[论文解读] G-Gaussian Processes under Sublinear Expectations and q-Brownian Motion in Quantum Mechanics

Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|May 5, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文在次线性期望下引入了一类广义高斯过程，并在复值线性期望下提出了一类新型 q-布朗运动，从而建立了一个新的费曼-卡茨公式，通过路径积分形式的随机积分表示了薛定谔方程的解。该框架将经典随机过程推广至非线性和量子启发的设定，统一了 G-布朗运动与 q-正态分布于一个一致的期望空间之中。

ABSTRACT

We provide a general approach to construct a stochastic process with a given consistent family of finite dimensional distributions under a nonlinear expectation space. We use this approach to construct a generalized Gaussian process under a sublinear expectation and a q-Brownian motion. The later one is under a complex-valued linear expectation, with which a new type of Feynman-Kac formula can be derived to represent the solution of a Schrödinger equation.

研究动机与目标

• 在非线性（次线性）期望空间下，构建具有给定有限维分布族的一致随机过程。
• 定义 G-高斯过程，使其有限维分布为 G-正态分布，从而将经典高斯过程推广至非线性设定。
• 在复值线性期望框架下定义 q-正态随机变量与 q-布朗运动，以建模量子随机行为。
• 推导一个新的费曼-卡茨型公式，通过 q-布朗运动路径表示薛定谔方程的解。
• 在 G-容量框架下建立 G-布朗运动的路径连续性与可表示性，基于弱紧的概率测度族。

提出的方法

• 利用柯尔莫哥洛夫一致性定理的推广，构造在次线性期望下具有给定有限维分布的随机过程。
• 将次线性 G-期望表示为弱紧概率测度族 $\mathcal{P}$ 上的上确界：$\mathbb{E}[X] = \max_{P \in \mathcal{P}} E_P[X]$。
• 通过 G-正态分布定义 G-高斯过程，其中增量在非线性期望下保持稳定且独立。
• 引入复值线性期望以定义 q-正态分布，从而构造 q-布朗运动作为具有 q-正态增量的过程。
• 应用 G-容量与拟连续性来刻画空间 $L_G^p(\Omega)$，确保路径的正则性与期望收敛性。
• 通过分段线性路径 $\omega^{(n)}(\omega)$ 的逼近方法，证明 $L_{ip}(\Omega)$ 在 $L_G^1(\Omega)$ 中的稠密性，从而实现空间的完备化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有指定有限维分布的次线性期望空间下，一致地构造一个随机过程？
• RQ2 在次线性期望下，G-高斯过程的结构是怎样的？它与经典高斯过程有何不同？
• RQ3 能否在复值线性期望下定义 q-布朗运动？其随机性质为何？
• RQ4 是否存在一个新形式的费曼-卡茨公式，能够通过 q-布朗运动路径表示薛定谔方程的解？
• RQ5 在 G-容量框架下，哪些条件能保证 G-布朗运动的连续性与路径正则性？

主要发现

• 成功构造了 G-高斯过程，其所有有限维分布均为 G-正态分布，从而将经典高斯过程推广至非线性期望空间。
• 次线性 G-期望被表示为弱紧概率测度族 $\mathcal{P}$ 上的上确界，确保了不确定性的一致性与可表示性。
• 在复值线性期望下定义了 q-布朗运动，其增量服从 q-正态分布，从而构建了一个具有量子启发性的随机框架。
• 推导出一个新的费曼-卡茨公式，将薛定谔方程的解表示为对 q-布朗运动路径的期望。
• 空间 $L_G^p(\Omega)$ 被表征为 $L_{ip}(\Omega)$ 在 G-期望下的完备化，其元素具有拟连续性并满足尾部可积性。
• 通过分段线性路径逼近与 $L_G^1$-范数收敛，建立了 G-布朗运动的路径连续性。