[論文レビュー] Gaudin model and opers

Edward Frenkel|ArXiv.org|Jul 30, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、高次Gaudinハミルトニアンと中心的要素によって生成されるGaudin代数の固有値スペクトルと、$\mathbb{P}^1$ 上の$^L G$-オーバー（正則特異点を$z_1, \ldots, z_N$および$\infty$で持つ）との間の幾何的対応を確立する。ワキモト加群とアフィンカク＝ムーディ代数の臨界レベル表現論を用いて、Gaudinモデルの固有値をミウラオーバーと関連づけ、ベーテの方法がLanglands双対群$^L\mathfrak{g}$のフラッグ多様体と結びつくことを示す。

ABSTRACT

This is a review of our previous works (some of them joint with B. Feigin and N. Reshetikhin) on the Gaudin model and opers. We define a commutative subalgebra in the tensor power of the universal enveloping algebra of a simple Lie algebra g. This algebra includes the hamiltonians of the Gaudin model, hence we call it the Gaudin algebra. It is constructed as a quotient of the center of the completed enveloping algebra of the affine Kac-Moody algebra g^ at the critical level. We identify the spectrum of the Gaudin algebra with the space of opers associated to the Langlands dual Lie algebra of g on the projective line with regular singularities at the marked points. Next, we recall the construction of the eigenvectors of the Gaudin algebra using the Wakimoto modules over g^ of critical level. The Wakimoto modules are naturally parameterized by Miura opers (or, equivalently, Cartan connections), and the action of the center on them is given by the Miura transformation. This allows us to relate solutions of the Bethe Ansatz equations to Miura opers and ultimately to the flag varieties associated to the Langlands dual Lie algebra of g.

研究の動機と目的

• Gaudin代数$\mathcal{Z}_{(z_i)}(\mathfrak{g})$のスペクトルを特定すること、これは$U(\mathfrak{g})^{\otimes N}$の可換部分代数であり、Gaudinハミルトニアンと中心的要素によって生成される。
• 正則特異点を持つ$\mathbb{P}^1$ 上のオーバーを用いた、Gaudin代数のスペクトルの幾何的実現を確立すること。
• ベーテの方法の解を、ミウラオーバーおよびLanglands双対リー代数$^L\mathfrak{g}$のフラッグ多様体と幾何的に関連付けること。
• 有限次元表現における$^L G$-オーバーとGaudin代数のスペクトルとの間の推測的な双対写像を提案すること。
• $G$-バンドルのモジュライスタック上のヘッケ固有層を用いた、幾何的ラングランズにインspiredな証明戦略を提示すること。

提案手法

• アフィンカク＝ムーディ代数$\widehat{\mathfrak{g}}$の臨界レベルにおける完全化された普遍包あらゆる代数の中心の商として、Gaudin代数$\mathcal{Z}_{(z_i)}(\mathfrak{g})$を構成する。
• $\mathbb{P}^1$ 上の$\widehat{\mathfrak{g}}$への誘導加群のコインバリアントとして$U(\mathfrak{g})^{\otimes N}$を実現し、$\widehat{\mathfrak{g}}$の中心から$\mathcal{Z}_{(z_i)}(\mathfrak{g})$への全射写像を可能にする。
• 臨界レベルにおける$\widehat{\mathfrak{g}}$上のワキモト加群を用い、これらは自然にミウラオーバー（またはカルタン接続）によってパラメトライズされる。これにより、Gaudin代数の固有ベクトルを構成する。
• ミウラ変換を適用し、$\widehat{\mathfrak{g}}$の中心がワキモト加群に作用する方法を$\mathbb{P}^1$ 上のオーバーに結びつける。固有値は$^L G$-オーバー（正則特異点付き）と一致する。
• $\mathcal{Z}_{(z_i)}(\mathfrak{g})$のスペクトルを、$z_1, \ldots, z_N, \infty$で正則特異点を持つ$\mathbb{P}^1$ 上の$^L G$-オーバーの空間と同一視する。これは、コインバリアントの幾何と臨界レベルにおける頂点代数の中心の性質を用いて実現される。
• 幾何的ラングランズ対応に基づく証明戦略を提案：各$^L G$-オーバーにヘッケ固有層を関連付け、$G$-バンドルのモジュライスタックの開部分に非自明性を示し、非ゼロ固有ベクトルの存在を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gaudin代数$\mathcal{Z}_{(z_i)}(\mathfrak{g})$（$U(\mathfrak{g})^{\otimes N}$の可換部分代数で、Gaudinハミルトニアンと中心的要素によって生成される）のスペクトルは何か？
• RQ2 Gaudinハミルトニアンの固有値は、$\mathbb{P}^1$ 上のオーバーなどの幾何的対象とどのように関係しているか？
• RQ3 ベーテの方法の解は、ミウラオーバーおよびLanglands双対群$^L\mathfrak{g}$のフラッグ多様体を通じて幾何的に解釈可能か？
• RQ4 $\mathbb{P}^1$ 上の正則特異点を持つ$^L G$-オーバーと、有限次元表現におけるGaudin代数のスペクトルとの間に自然な双対写像が存在するか？
• RQ5 ヘッケ固有層を用いた幾何的ラングランズ手法により、ベーテベクトルの非自明性（非ゼロ性）を示せるか？ これは$G$-バンドルのモジュライスタック上で定義される。

主な発見

• Gaudin代数$\mathcal{Z}_{(z_i)}(\mathfrak{g})$のスペクトルは、$\widehat{\mathfrak{g}}$の完全化された普遍包あらゆる代数の中心の臨界レベルにおける性質を用いて、$z_1, \ldots, z_N$および$\infty$で正則特異点を持つ$\mathbb{P}^1$ 上の$^L G$-オーバーの空間と自然に同一視される。
• Gaudin代数の固有ベクトルの構成は、臨界レベルにおける$\widehat{\mathfrak{g}}$上のワキモト加群を用いることで達成され、これらはミウラオーバーによって自然にパラメトライズされる。
• $\widehat{\mathfrak{g}}$の中心がワキモト加群に作用する方法は、ミウラ変換によって実現され、固有値は$\mathbb{P}^1$ 上のオーバーと一致する。
• Gaudin代数のスペクトルは幾何的に$\operatorname{Op}_{^L G}(\mathbb{P}^1)_{(z_i),\infty; (\lambda_i), \lambda_\infty}$として実現される。これは、指定された正則特異点とモノドロミーデータを持つ$^L G$-オーバーの空間である。
• 有限次元表現$V_{(\lambda_i), \lambda_\infty}^G$において、$^L G$-オーバーとGaudin代数のスペクトルとの間の推測的双対写像を提案。幾何的ラングランズにインspiredした戦略により、$G$-バンドルのモジュライスタック上のヘッケ固有層の非自明性を用いて証明を試みる。
• 固有ベクトル（ベーテベクトルを含む）の非自明性は、$\operatorname{Bun}_G(\mathbb{P}^1)$上の関連する$D$-加群の非自明性と結びついており、この推測の幾何的証明の可能性を示唆する。