[論文レビュー] Generalization of C*-algebra methods via real positivity for operator and Banach algebras

David P. Blecher|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 55被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、正性に基づくC*-代数の技法を、新しい実正性の概念を用いて一般化し、作用素代数およびバナッハ代数に応用することで、非自己随伴な設定において順序論および近似単位元の理論を可能にする。主な貢献は、逐次有界近似単位元（bai）を有するバナッハ代数を、厳密に実正である要素を用いて特徴づけることで、Aarnes–Kadisonの定理をC*-代数的でない文脈にまで拡張することにある。

ABSTRACT

With Charles Read we have introduced and studied a new notion of (real) positivity in operator algebras, with an eye to extending certain C*-algebraic results and theories to more general algebras. As motivation note that the `completely' real positive maps on C*-algebras or operator systems are precisely the completely positive maps in the usual sense; however with real positivity one may develop a useful order theory for more general spaces and algebras. This is intimately connected to new relationships between an operator algebra and the C*-algebra it generates. We have continued this work together with Read, and also with Matthew Neal. Recently with Narutaka Ozawa we have investigated the parts of the theory that generalize further to Banach algebras. In the present paper we describe some of this work which is connected with generalizing various C*-algebraic techniques initiated by Richard V. Kadison. In particular Section 2 is in part a tribute to him in keeping with the occasion of this volume, and also discusses some of the origins of the theory of positivity (in our sense) in the setting of algebras, which the later parts of our paper develops further. The most recent work will be emphasized.

研究の動機と目的

• C*-代数の技法、特に正性および近似単位元に関連するものを、C*-代数を超えて一般作用素代数およびバナッハ代数へと拡張すること。
• 実正性を用いた関数的順序論を構築し、通常のC*-代数における正性を一般化し、非自己随伴代数へ応用すること。
• バナッハ代数や作用素代数が逐次有界近似単位元（bai）を有するための条件を、実正である要素を用いて確立すること。
• Aarnes–Kadisonの定理を、標準的な正性の代わりに実正性を用いることで、バナッハ代数へと一般化すること。
• 実正性およびバナッハ代数のユニタリゼーションを用いて、非C*-代数的文脈における遺伝的部分代数、イデアル、および状態に関する結果を統一的かつ拡張すること。

提案手法

• 作用素代数およびバナッハ代数における実正性の新しい概念を導入し、その代数が生成する関連C*-代数において実部が正である要素を実正と定義する。
• バナッハ代数 $ A $ のユニタリゼーション $ B $ を用いて、$ B $ に属し $ A $ に含まれる実正要素の集合 $ \frak{F}_A^B $ および $ \frak{r}_A^B $ を定義し、近似単位元の研究に用いる。
• 特に列 $ (x^{1/n}) $ を用いた実正要素の関数計算を適用し、逐次有界近似単位元を構成する。
• 内イデアル $ D $ を、$ z \in \frak{F}_D^B $ に対して $ \overline{zAz} $ の形に表されるものとして特徴づけ、イデアル構造と実正性を結びつける。
• バナッハ代数 $ A $ が $ \frak{r}_A^B $ からの逐次有界近似単位元を有するための必要十分条件として、$ A = \overline{xAx} $ を満たす厳密に実正である要素 $ x \in \frak{r}_A^B $ が存在することを示す。
• ユニタリゼーションを用いて、C*-代数の結果をバナッハ代数へと還元し、[22]および[21]の先行結果（特に近似単位元を有さない代数に対しても）に依拠することで、作用素代数からバナッハ代数への一般化を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、バナッハ代数が実正要素から構成される逐次有界近似単位元（bai）を有するか？
• RQ2 C*-代数における厳密に正である要素の概念を、実正性を用いてC*-代数的でない文脈へどのように一般化できるか？
• RQ3 バナッハ代数における遺伝的部分代数（HSAs）と、ユニタリゼーションにおける実正要素 $ z $ に対して $ \overline{zAz} $ の形に表される要素との関係は何か？
• RQ4 Aarnes–Kadisonの定理（近似単位元に関するもの）は、標準的な正性の代わりに実正性を用いることで、バナッハ代数へと拡張可能か？
• RQ5 バナッハ代数 $ A $ のユニタリゼーション $ B $ は、$ A $ における実正要素および近似単位元の特徴づけにおいて、どのような役割を果たすか？

主な発見

• バナッハ代数 $ A $ が $ \frak{r}_A^B $ からの逐次有界近似単位元を有するための必要十分条件は、$ A = \overline{xAx} $ を満たす厳密に実正である要素 $ x \in \frak{r}_A^B $ が存在することである。これはAarnes–Kadisonの定理を一般化する。
• 任意の閉部分代数 $ D $ が $ \frak{F}_A^B $ からの近似単位元を有するとき、任意のコンパクト集合 $ K \subset D $ に対して、$ K \subset xDx \subset xAx $ を満たす $ x \in \frak{F}_D^B $ が存在する。これは局所構造と実正性を結びつける。
• バナッハ代数 $ A $ が $ \frak{r}_A^B $ からの近似単位元を有するとき、そのすべての可分な内イデアルは、ある $ z \in \frak{F}_A^B $ に対して $ \overline{zAz} $ の形に表され、このようなイデアルは可算個の可換な近似単位元 $ (z^{1/n}) $ を持つ。
• ユニタリゼーション $ B $ を持つバナッハ代数 $ A $ における $ B $-遺伝的部分代数（HSAs）は、すべての $ z \in \frak{F}_A^B $ に対して $ \overline{zAz} $ の形の集合の増大列の閉包に一致する。これはHSAsの構造論をバナッハ代数へと拡張する。
• 作用素代数の場合、厳密に実正である要素の存在は、逐次実正な完全有界近似単位元（caI）の存在と同値であり、そのような要素は双対空間において $ s(x) = 1_{A^{**}} $ を満たす。
• 有限部分集合 $ G \subset E $ および $ n \in \mathbb{N} $ をインデックスとするネット $ (z_G^{1/n}) $ は、$ \overline{EA} $ において $ \frak{F}_A^B $ からの左近似単位元をなす。これは、集合 $ E $ が有界で実正の錐に含まれるとき、$ E $ で生成されるバナッハ代数が $ \frak{F}_A^B $ からの近似単位元を有することを示している。