[논문 리뷰] Generalized Lens Categories via functors $\mathcal{C}^{ m op} o\mathsf{Cat}$

David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 06.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 임의의 함자 $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$에 대해 그로텐디크 구축의 변종을 사용하여, 표준 렌즈, 링드 공간, 개방 동역학계가 모두 특수한 경우로 나타나는 새로운 범주 ${\mathsf{Lens}}_F$를 정의함으로써 렌즈의 범주를 일반화한다. 이는 이러한 구조들을 동일한 범주론적 프레임워크 아래 통합하고, 공 Kleisli 구축을 통해 렌즈 이론을 대칭 모나드 범주로 확장한다.

ABSTRACT

Lenses have a rich history and have recently received a great deal of attention from applied category theorists. We generalize the notion of lens by defining a category $\mathsf{Lens}_F$ for any category $\mathcal{C}$ and functor $F\colon \mathcal{C}^{ m op} o\mathsf{Cat}$, using a variant of the Grothendieck construction. All of the mathematics in this note is straightforward; the purpose is simply to see lenses in a broader context where some closely-related examples, such as ringed spaces and open continuous dynamical systems, can be included.

연구 동기 및 목표

• 표준 렌즈 이론의 설정인 $\mathsf{Set}$ 내의 쌍을 넘어서, 링드 공간과 개방 동역학계와 같은 구조를 포함하도록 렌즈의 개념을 일반화하는 것.
• 색인 범주와 그로텐디크 구축의 변종을 사용하여 렌즈를 위한 통합된 범주론적 프레임워크를 제공하는 것.
• 공 Kleisli 기반의 렌즈 범주를 구성함으로써, 임의의 대칭 모나드 범주로 렌즈 범주를 일반화하는 것.
• 입력 함자 $F$가 약한 모나드일 경우, 일반화된 렌즈 범주 ${\mathsf{Lens}}_F$가 모나드 구조를 상속하는 조건을 밝혀내는 것.

제안 방법

• 함자 $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$의 그로텐디크 구축의 반대 범주로 일반화된 렌즈 범주 ${\mathsf{Lens}}_F$를 정의한다.
• ${\mathsf{Lens}}_F$의 사상은 $f: c \to d$가 $\mathcal{C}$ 내의 사상이고, $f^\sharp: c \times y \to x$가 $F(c)$ 내의 사상인 쌍 $(f, f^\sharp)$로 표현하며, 이는 렌즈의 get 및 put 연산을 일반화한다.
• $\mathsf{Set}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$인 슬라이스 범주 함자 $\mathsf{Slice}$를 사용하여 $\mathsf{Set}$ 내의 표준 렌즈 범주를 복원한다.
• 대칭 모나드 범주에서 공 Kleisli 범주를 사용하여, $\mathcal{C}$ 내의 가역 컴온로이드에 대한 $\mathsf{coKl}: \mathsf{Comon}_\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$ 함자를 사용해 렌즈 범주를 구성한다.
• 함자 $F$가 약한 모나드일 경우, ${\mathsf{Lens}}_F$에 대칭 모나드 구조를 부여하기 위해 모나드 형태의 그로텐디크 구축을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 렌즈의 개념은 링드 공간과 개방 동역학계와 같은 구조를 포함하도록 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 표준 렌즈 범주 $\mathsf{Set}$는 색인 범주를 사용한 더 일반적인 구축의 특수한 경우로 복원될 수 있는가?
• RQ3 대칭 모나드 범주 내에서 렌즈 범주의 범주론적 구조는 무엇이며, 이를 명시적으로 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 일반화된 렌즈 범주 ${\mathsf{Lens}}_F$가 입력 함자 $F$로부터 모나드 구조를 상속하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 함자 $F$가 슬라이스 범주 함자 $\mathsf{Slice}$일 경우, 일반화된 렌즈 범주 ${\mathsf{Lens}}_F$는 $\mathsf{Set}$ 내의 표준 렌즈 범주와 동형이다.
• 대칭 모나드 범주 $\mathcal{C}$ 내의 렌즈 범주는 ${\mathsf{Lens}}_{\mathsf{coKl}}$로 복원되며, 여기서 $\mathsf{coKl}$은 $\mathcal{C}$ 내의 가역 컴온로이드에 대한 공 Kleisli 구축이다.
• 함자 $F$가 약한 모나드 함자일 경우, 모나드 형태의 그로텐디크 구축을 통해 렌즈 범주 ${\mathsf{Lens}}_F$는 대칭 모나드 구조를 상속한다.
• 이 구축은 서로 다른 구조들을 통합한다: 표준 렌즈, 링드 공간(시프 함자 $\mathsf{Sh}$를 통해), 개방 동역학계(사상 함자 $\mathsf{Subm}$을 통해).