[論文レビュー] Generalized mu-ordinary Hasse invariants

Jean-Stefan Koskivirta, Torsten Wedhorn|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2014

Advanced Topology and Set Theory参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、良い還元素数におけるホッジ型の志村多様体の $μ$-通常のハッセ不変量の群論的構成を、$G$-zips のスタックを用いて行う。最小のべき $N_{\mu}$ を明示的に求め、ハッセ不変量が存在するハッジ bundle のべきを特定するとともに、ワイエル制限によるエケダール・オールポート層の関係を、一様かつ明示的に拡張する。

ABSTRACT

We construct canonical Hasse invariants for arbitrary Shimura varieties of Hodge type for the mu-ordinary locus.

研究の動機と目的

• 志村多様体のホッジ型において、良い還元素数における $μ$-通常の層に対して、自然なハッセ不変量を構成すること。
• ハッジ bundle の $N_{\mu}$ 乗がハッセ不変量を許容する最小の整数 $N_{\mu}$ の明示的公式を提供すること。
• 再帰的群 $G$ がワイエル制限である場合、$G$ のエケダール・オールポート層をその基本群 $G_1$ のものと関係づけること。
• ディエドンヌモジュール理論に依存しない、新しい群論的アプローチによりハッセ不変量を構成すること。

提案手法

• ムーンエン＝ウェドホルンおよびピンク＝ウェドホルン＝ツィーグラーによって導入された、エケダール・オールポート層をパラメトライズする $G$-zips スタック $\mathop{\text{$G$-{ t Zip}}} olimits^{\mu}$ を使用する。
• 線分束 $\mathscr{V}(N_{\mu}\lambda)$ 上のセクションとしてハッセ不変量を構成し、その非消滅部分が正確に $μ$-通常の層 $U_{\mu}$ に一致する。
• $N_{\mu}$ を、zip データ ${\mathcal{Z}} = (G,P,L,Q,M,\varphi)$ を用いて、$N_{\mu}\lambda$ が ${\mathcal{Z}}$-オーバーである最小の正の整数として定義する。
• $L_0(\mathbb{F}_p)$ のアーベル化とその特徴群 $X^*(L_0(\mathbb{F}_p))$ の指数を分析することで、PEL型の場合の $N_{\mu}$ を明示的に計算する。
• ワイエル制限のための完全系列 $1 \to G_1 \to G \to \mathbb{G}_{m,\mathbb{F}_p} \to 1$ の分解を用いて、層と $N_{\mu}$ を関係づける。
• コhomological次元 1 の有限体上でのコhomological技法を用い、$L_0(\mathbb{F}_p)$ 及びその特徴群の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホッジ型の志村多様体における $μ$-通常の領域に対して、ハッセ不変量が存在するハッジ bundle の最小のべき $N_{\mu}$ は何か？
• RQ2 ワイエル制限 $G = \operatorname{Res}_{\mathbb{F}_{p^r}/\mathbb{F}_p}(G')$ のエケダール・オールポート層は、基本群 $G'$ のものとどのように関係するか？
• RQ3 ディエドンヌモジュール理論に依存しない、一様かつ群論的な $μ$-通常のハッセ不変量の構成は可能か？
• RQ4 どの再帰的群 $G$ に対して、ハッジ bundle の $N_{\mu}$ 乗上でハッセ不変量が存在するか？

主な発見

• ハッジ bundle の $N_{\mu}$ 乗がハッセ不変量を許容する最小の整数 $N_{\mu}$ は、$G' = GL_n$ の場合 $p^r - 1$、$G' = U(n)$ の場合 $p^{2r} - 1$、$G' = Sp_{2g}$ の場合 $p^r - 1$ として明示的に計算される。
• ハッセ不変量は、非消滅部分が正確に $μ$-通常の層である $h_K \in H^0(S_K, \omega^{N_{\mu}})$ として存在するセクションである。
• $h_K$ は最小コンactification $S_K^{\rm min}$ に一意に拡張され、その拡張されたセクションの非消滅部分として $μ$-通常の層が定義される。
• $G = \operatorname{Res}_{\mathbb{F}_{p^r}/\mathbb{F}_p}(G')$ の場合、$G$ のエケダール・オールポート層は $G'$ のものと一対一対応し、完全系列 $1 \to G_1 \to G \to \mathbb{G}_{m,\mathbb{F}_p} \to 1$ を通じて関係づけられる。
• この構成は、ゴールドリング＝ニコールおよびボクサーのユニタリの場合の既存結果と一致し、$N_{\mu} = p^{2r} - 1$ は彼らの明示的計算と一致する。
• 先行研究で用いられた「軌道的 $p$-近接」条件の必要性を回避し、開層に対してより強力で明示的な結果を得た。