[论文解读] Generating the Fukaya categories of Hamiltonian G-manifolds

J. D. Evans, Yankı Lekili|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 52被引用 8

一句话总结

该论文证明了，在特征 $k$ 不整除 $H^*(G;\mathbb{Z})$ 的挠子群的情况下，哈密顿 $G$-作用在单调辛流形上的自由拉格朗日子流形，当且仅当其在该和项中表示非零对象时，其生成该单调弗克亚类别和项。该结果依赖于通过花结弗洛尔理论与科祖尔对偶性构造的从 $T^*G$ 的导出缠绕弗克亚类别到 $X^{-} \times X$ 的导出弗克亚类别的函子，其在特征 2 下对射影簇与格拉斯曼流形有应用。

ABSTRACT

Let $G$ be a compact Lie group and $\mathbf{k}$ be a field of characteristic $p \geq 0$ such that $H^* (G)$ does not have $p$-torsion. We show that a free Lagrangian orbit of a Hamiltonian $G$-action on a compact, monotone, symplectic manifold $X$ split-generates an idempotent summand of the monotone Fukaya category $\mathcal{F}(X; \mathbf{k})$ if and only if it represents a non-zero object of that summand (slightly more general results are also provided). Our result is based on: an explicit understanding of the wrapped Fukaya category $\mathcal{W}(T^*G; \mathbf{k})$ through Koszul twisted complexes involving the zero-section and a cotangent fibre; and a functor $D^b \mathcal{W}(T^*G; \mathbf{k}) o D^b\mathcal{F}(X^{-} imes X; \mathbf{k})$ canonically associated to the Hamiltonian $G$-action on $X$. We explore several examples which can be studied in a uniform manner including toric Fano varieties and certain Grassmannians.

研究动机与目标

• 确定哈密顿 $G$-作用下的自由拉格朗日子流形在何时分裂生成单调弗克亚类别的一个和项。
• 通过几何复合与花结形式化，构造从 $D^b\mathcal{W}(T^*G;k)$ 到 $D^b\mathcal{F}(X^{-}\times X;k)$ 的三角化 $A_\infty$-函子。
• 证明该函子作用于零截面时，其像同构于 $L \times L$，其中 $L = \mu^{-1}(0)$ 为自由拉格朗日子流形。
• 将结果应用于具体例子，包括射影簇与格拉斯曼流形，明确识别出分裂生成元。
• 证明在特定特征条件下，量子上同调分解为局部环，从而在弗克亚类别中仅存在一个和项。

提出的方法

• 通过矩映射构造拉格朗日对应 $C \subset (T^*G)^{-} \times X^{-} \times X$，定义为 $v = \mu(gx)$，$y = gx$。
• 利用花结形式化与几何复合定理，定义三角化 $A_\infty$-函子 $\mathfrak{C}: D^b\mathcal{W}(T^*G;k) \to D^b\mathcal{F}(X^{-} \times X;k)$。
• 证明余切纤维 $T^*_1G$ 与 $C$ 的复合得到 $X^{-} \times X$ 中的对角线 $\Delta$，从而使得函子可在生成元上定义。
• 利用 $\mathcal{W}(T^*G;k)$ 中的科祖尔扭曲复形，将零截面表示为 $H_*(\Omega G;k)$ 上的解析，当 $\operatorname{char}(k)$ 不整除 $H^*(G;\mathbb{Z})$ 的挠子群时，利用同调等价。
• 证明缠绕弗克亚类别 $\mathcal{W}(T^*G;k)$ 由 $T^*_1G$ 生成，从而将函子定义简化为单个对象。
• 将函子作用于零截面 $G \subset T^*G$，证明其像为 $L \times L$，当 $L = \mu^{-1}(0)$ 为自由轨道时成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，自由拉格朗日子流形 $L = \mu^{-1}(0)$ 分裂生成单调弗克亚类别 $\mathcal{F}(X;k)$ 的一个和项？
• RQ2 如何通过科祖尔复形与 $H_*(\Omega G;k)$ 上的同调代数，显式描述缠绕弗克亚类别 $\mathcal{W}(T^*G;k)$？
• RQ3 在正特征下，射影簇与格拉斯曼流形的量子上同调 $QH(X;k)$ 的结构为何？
• RQ4 何时格拉斯曼流形 $\operatorname{Gr}(n,2n)$ 的量子上同调为局部环，从而在弗克亚类别中仅存在一个和项？
• RQ5 弗克亚类别的 $A_\infty$-结构如何反映量子上同调的非半单性，即使其环结构本身并非半单？

主要发现

• 在 $\operatorname{char}(k)$ 不整除 $H^*(G;\mathbb{Z})$ 的挠子群的条件下，自由拉格朗日子流形 $L = \mu^{-1}(0)$ 当且仅当其在该和项中表示非零对象时，分裂生成 $\mathcal{F}(X;k)$ 的一个和项。
• 函子 $\mathfrak{C}: D^b\mathcal{W}(T^*G;k) \to D^b\mathcal{F}(X^{-} \times X;k)$ 通过花结弗洛尔理论与几何复合构造，且满足 $\mathfrak{C}(T^*_1G) \cong \Delta$。
• 零截面 $G \subset T^*G$ 在 $\mathfrak{C}$ 下的像为 $L \times L$，因此当 $L$ 为自由轨道时，有 $\mathfrak{C}(G) \cong L \times L$。
• 当 $X = \operatorname{Gr}(2^s, 2^{s+1})$ 且 $k$ 为特征 2 时，$QH(X;k)$ 为局部环，因此弗克亚类别仅含一个和项。
• 在特征 2 下，同调拉格朗日子流形 $U(2^s) \subset \operatorname{Gr}(2^s, 2^{s+1})$ 分裂生成整个弗克亚类别。
• 在 $\mathbb{F}_2$ 上，$QH(\mathbb{C}P^1; \mathbb{F}_2)$ 作为环并非半单，但考虑其 $A_\infty$-结构时表现得如同半单，满足 $\mu^4(H,H,H,H) = H$。