[論文レビュー] Generic ill-posedness for wave equation of power type on 3D torus

Bo Xia|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、3次元トーラス上での非線形項が力のべき型である波動方程式について、超臨界ソボレフ空間 $ s < \frac{3}{2} - \frac{2}{p-1} $ の下で、一般の不適切性を確立する。具体的には、不適切な解を導く初期データの集合が $ \mathcal{H}^s(\mathbb{T}^3) $ 内で稠密であることを示す。さらに、[2]および[12]で用いられた確率的アプローチによって構成された解は、初期データの標準的正則化による極限として回復できないことが示され、一般の初期データに対して $ C(\mathbb{R}; \mathcal{H}^s) $ 内で収束しない。

ABSTRACT

In this article, we prove that the equation \begin{equation*} \left\{\begin{split} &amp;(\partial^2_t-Δ)u+|u|^{p-1}u=0,\ \ \ 3\leq p&lt;5 &amp;\big(u(0),\partial_tu(0)\big)=(u_0,u_1)\in H^{s}(\mathbb{T}^3) imes H^{s-1}(\mathbb{T}^3)=:\mathcal{H}^s(\mathbb{T}^3) \end{split} ight. \end{equation*} with $s

研究の動機と目的

• 3次元トーラス上での力のべき型波動方程式 $ (\partial_t^2 - \Delta)u + |u|^{p-1}u = 0 $ の、超臨界ソボレフ空間 $ s < \frac{3}{2} - \frac{2}{p-1} $ における適切性を調査すること。
• 文献[2]および[12]で確率的アプローチによって構成された解が、正則化された初期データからの解の極限として回復可能かどうかを特定すること。
• 不適切な解を導く初期データの集合が $ \mathcal{H}^s(\mathbb{T}^3) $ 内で稠密であることを確立し、不適切性が一般であることを示すこと。
• 標準的正則化における初期データに対する連続的依存性の失敗を、有限速度伝播およびフラクタルソボレフノルムの文脈で分析すること。

提案手法

• 径数関数 $ \chi $ を用いたスペクトル切断 $ \chi(2^{-|n|}|\Delta|) $ を用いて、滑らかな初期データの列 $ (u_{0,n}, u_{1,n}) $ を構成する。
• 正則化された初期データからの解 $ v_n $ と元の解 $ v $ の差 $ w_n = v - v_n $ を分析し、$ H^s \times H^{s-1} $ 上でエネルギー推定を導出する。
• 有限速度伝播と伝播領域の不交性を用いて、局所的初期データに対する解の $ H^s $ ノルムの増大を局所化する。
• 補題5.5を適用し、$ \| \psi_n V(\lambda \phi_n) \|_{H^s} \gtrsim \lambda^s $ を示し、高周波初期データを持つ解の $ H^s $ ノルムの下界を確立する。
• エネルギー推定と補間、対数的増大を組み合わせ、$ \| w_n \|_{C(\mathbb{R}; \mathcal{H}^s)} \to 0 $ が成り立つのは $ s > \frac{3}{2} - \frac{2}{p-1} $ の場合に限ることを示す。それ以外では誤差は依然として大きい。
• 有界領域におけるソボレフ＝スロボデイツキー特徴付けを用いて、$ H^s $ ノルムを $ K_{n_k} $ 上で制御し、不交な伝播領域を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元トーラス上での波動方程式 $ (\partial_t^2 - \Delta)u + |u|^{p-1}u = 0 $ は、初期データが $ \mathcal{H}^s(\mathbb{T}^3) $ に属する場合に、$ s < \frac{3}{2} - \frac{2}{p-1} $ に対して適切か？
• RQ2 文献[2]および[12]で確率的アプローチによって構成された解は、正則化された初期データからの解の極限として回復可能か？
• RQ3 初期データが $ \mathcal{H}^s(\mathbb{T}^3) $ に属する場合に、不適切な解を導く初期データの集合は、$ \mathcal{H}^s(\mathbb{T}^3) $ 内で稠密か？
• RQ4 有限速度伝播の下で、局所的かつ高周波の初期データを持つ解の $ H^s $ ノルムの挙動はいかなるものか？

主な発見

• 方程式は、すべての $ s < \frac{3}{2} - \frac{2}{p-1} $ に対してハダールの意味で一般の不適切性を示し、不適切な解を導く初期データの集合は $ \mathcal{H}^s(\mathbb{T}^3) $ 内で稠密である。
• 文献[2]および[12]で確率的アプローチによって構成された解は、一般の初期データに対して $ C(\mathbb{R}; \mathcal{H}^s) $ 内で正則化初期データからの極限として回復できない。
• 初期データ $ (u_0, u_1) \in C_c^\infty \times C_c^\infty $ に対して、任意の $ T > 0 $ に対して $ L^\infty([-T,T]; \mathcal{H}^s) $ 内に解は存在しない。これは有限速度伝播がある場合でさえも成り立つ。
• 局所的かつ高周波の初期データを持つ解の $ H^s $ ノルムは、$ \log(n)^\alpha $（$ \alpha > 0 $）のオーダーで増大し、ノルムの増大を示唆する。
• スペクトル切断による正則化プロセスは、$ s < \frac{3}{2} - \frac{2}{p-1} $ の場合に $ C(\mathbb{R}; \mathcal{H}^s) $ 内で収束しない。誤差 $ \| w_n \|_{C(\mathbb{R}; \mathcal{H}^s)} $ は消えない。
• 収束の失敗は、超臨界領域で非正となる指数 $ g(s,p) = -\frac{1}{2}\big{(}(p-1)s - 2(p-2)\big{)}\big{(}s - \big{(}\frac{3}{2} - \frac{2}{p-1}\big{)}\big{)} \leq 0 $ を用いて定量的に示され、その値は非正である。