[論文レビュー] Geometric Partial Differential Equations from Unified String Theories

D. H. Phong|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 60被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、特に11次元超重力理論に由来する幾何的偏微分方程式を導入し、放物型フローと超対称的還元を用いて新たな解を提示する。5パラメータの解族を確立し、リッチ平坦計量、調和関数、閉形式を用いて超対称的配置を特徴づけることで、非ケーラー幾何学および理論物理学的文脈における非線形PDE理論の発展を図る。

ABSTRACT

An informal introduction to some new geometric partial differential equations motivated by string theories is provided. Some of these equations are also interesting from the point of view of non-Kähler geometry and the theory of non-linear partial differential equations. In particular, a survey is given of joint works of the author with Teng Fei, Bin Guo, Sebastien Picard, and Xiangwen Zhang.

研究の動機と目的

• 統一された超弦理論に由来する幾何的偏微分方程式を探索すること。特に11次元超重力理論に焦点を当てる。
• 幾何学的および解析的技法を用いて、11次元超重力理論における超対称的解を特定し、特徴づけること。
• 解のアンサッツを保存し、超重力場方程式の解へ収束する放物型フローを構築すること。
• 超弦理論からの物理的制約を、非ケーラー幾何学および非線形PDEの深い問題と結びつけること。
• ODE還元とコhomological条件を用いて、既知の解を拡張し、新たな解族を構築すること。

提案手法

• 11次元超重力方程式を低次元PDEに還元するため、$ M^{11} = M^{1,p} \times M^{10-p} $ の形のアンサッツを用いる。
• $ (g(t), A(t), \beta(t), \Psi(t)) $ の配置に対して、$ \beta $ および $ \Psi $ の閉性を保ち、計量アンサッツを維持する放物型フローを構築する。
• 進化方程式として、$ \partial_t G_{MN} = -2R_{MN} + F_{MN}^2 - \frac{1}{3}|F|^2 G_{MN} $ および $ \partial_t F = -\Box F - \frac{1}{2} d\star(F \wedge F) $ を用いる。
• 程 Cheng, Li, Yau, および Szekelyhidi の結果を含む微分幾何学的解析の定理を適用し、$ \mathbb{C}^4 $ 上に完全なケーラー・リッチ平坦計量を構成する。
• 問題を3階非線形ODEに還元する：$ \frac{d^3v}{dt^3} + 7\frac{d^2v}{dt^2}v + 14(\frac{dv}{dt})^2 + 2\frac{dv}{dt}(17v^2 - 60) + 12(v^2 - 4)(v^2 - 6) = 0 $。
• 超対称性条件を課す：$ g_3 $ は平坦、$ \bar{g}_8 $ はリッチ平坦で、共変的定数スピン接続を有し、$ e^{-3A} $ は調和関数、$ df = \pm d(e^{3A}) $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 11次元超重力理論における超対称的解を特徴づける幾何学的および解析的条件は何か？
• RQ2 アンサッツを保存し、超重力場方程式の解へ収束する放物型フローを構築できるか？
• RQ3 5パラメータの還元の下で、11次元超重力理論の解空間の構造はいかなるものか？
• RQ4 非ゼロのフラックスと非ケーラー幾何学は超弦理論からどのように生じるのか？それらが生成するPDEは何か？
• RQ5 還元から得られた3階ODEを体系的に解くことは可能か？また、その特別な解は何か？

主な発見

• 11次元超重力理論における超対称的解の完全な特徴づけが与えられる：$ g_3 $ は平坦で、$ \bar{g}_8 = e^A g_8 $ はリッチ平坦で共変的定数スピン接続を有し、$ (M_8, \bar{g}_8) $ 上で $ e^{-3A} $ は調和関数であり、$ df = \pm d(e^{3A}) $ を満たす。
• 11次元超重力場方程式の5パラメータの解族が構築される。1つのパラメータは $ g_3 $ のスカラー曲率、もう1つは $ g_8 $ のグローバルスケール、残りの3つは3階ODEの積分定数から得られる。
• 3階ODE $ \frac{d^3v}{dt^3} + 7\frac{d^2v}{dt^2}v + 14(\frac{dv}{dt})^2 + 2\frac{dv}{dt}(17v^2 - 60) + 12(v^2 - 4)(v^2 - 6) = 0 $ は還元の力学を支配し、明示的な特別解を有する。
• 放物型フローはアンサッツを保存し、11次元超重力の解へ配置を進化させる。フローが有限時刻 $ T $ までしか定義されない場合、$ t \to T^- $ で曲率および他の幾何的量が発散する性質を有する。
• 本研究により、物理学者の文献に既に存在しなかった新たな超対称的解が得られ、Szekelyhidi, Conlon-Rochon, および Li の結果を用いて $ \mathbb{C}^4 $ 上に完全なケーラー・リッチ平坦計量が構成される。
• Duff-Stelle解は5パラメータ族に埋め込まれており、この族の中で超対称性条件を満たす唯一の解である。