[論文レビュー] Givental J-functions, Quantum integrable systems, AGT relation with surface operator

Satoshi Nawata|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 68被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、AGT関係を介して、4次元 $υ=2$ のゲージ理論に完全な表面オペレーターを導入した場合と、量子可積分系との間の明確な対応関係を確立する。 supersymmetric localization を用いて正確な Nekrasov 分割関数を導出し、チェーンソークイバー表現を用いてインスタントンモジュライ空間をアフィン・ローモン空間として記述する。表面オペレーター上のヴォルテックス分離関数が、フラッグ多様体の余接束の Givental $J$-関数として特定され、Grassmann多様体の量子接続と射影空間 $J$-関数のウェッジ積との間の予想を証明する。

ABSTRACT

We study 4d $\mathcal{N}=2$ gauge theories with a co-dimension two full surface operator, which exhibit a fascinating interplay of supersymmetric gauge theories, equivariant Gromov-Witten theory and geometric representation theory. For pure Yang-Mills and $\mathcal{N}=2^*$ theory, we describe a full surface operator as the 4d gauge theory coupled to a 2d $\mathcal{N}=(2,2)$ gauge theory. By supersymmetric localizations, we present the exact partition functions of both 4d and 2d theories which satisfy integrable equations. In addition, the form of the structure constants with a semi-degenerate field in SL(N,R) WZNW model is predicted from one-loop determinants of 4d gauge theories with a full surface operator via the AGT relation.

研究の動機と目的

• supersymmetric localization を用いて、4次元 $υ=2$ の純粋なヤンミルズ理論および $υ=2^*$ 理論に完全な表面オペレーターを導入した場合の正確な Nekrasov 分割関数を導出すること。
• 表面オペレーター上での2次元ヴォルテックス分離関数が、フラッグ多様体の余接束の Givental $J$-関数として特定されること。
• 量子接続 $T^*\mathrm{Gr}(r,N)$ と $T^*\mathbb{P}^{N-1}$ の $r$ 重ウェッジ積との間の対応関係を確立し、明示的な $J$-関数表現により、最近の予想を確認すること。
• AGT関係を介して、4次元ゲージ理論に表面オペレーターを導入した場合の1ループ行列式から、$\mathrm{SL}(N,\mathbb{R})$ WZNWモデルの構造定数を予測すること。

提案手法

• supersymmetric localization を用いて、4次元 $υ=2$ ゲージ理論および表面オペレーター上に結合された2次元 $(2,2)$ ゲージ理論の正確な分離関数を計算する。
• チェーンソークイバー表現を用いて、インスタントンモジュライ空間をアフィン・ローモン空間として記述し、これは $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}/\mathbb{Z}_M)$ 上のインスタントンモジュライ空間と等価であることを示す。
• 等化パラメータ、チャーン根、質量パラメータを用いて、Nekrasov 分離関数の contour 積分表現を導出する。
• 2次元 $(2,2)^*$ 非線形シグマモデルを $T^*\mathrm{Fl}(\vec{d})$ 上に Higgs 分岐局在化により適用し、フラッグ多様体の余接束をターゲット空間とする。
• Pochhammer 記号および微分作用素を用いて、$T^*\mathbb{P}^{N-1}$ および $T^*\mathrm{Gr}(r,N)$ の $J$-関数を明示的に表現する。
• Hori と Vafa の予想を証明する。具体的には、$J[T^*\mathrm{Gr}(r,N)]$ が、$m$ を含む補正因子を伴って、$J[T^*\mathbb{P}^{N-1}]$ 関数の積にバーデルモンド型微分作用素を作用させることで得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 $υ=2$ ゲージ理論に完全な表面オペレーターを導入した場合の Nekrasov 分離関数は、フラッグ多様体の Givental $J$-関数とどのように関係しているか？
• RQ2 量子接続 $T^*\mathrm{Gr}(r,N)$ は、$T^*\mathbb{P}^{N-1}$ の量子接続のウェッジ積として表現可能か？
• RQ3 表面オペレーター上でのヴォルテックス分離関数と、対応する2次元ターゲット空間の $J$-関数との間の明確な関係は何か？
• RQ4 4次元ゲージ理論に表面オペレーターを導入した場合の1ループ行列式は、AGT対応を介して $\mathrm{SL}(N,\mathbb{R})$ WZNWモデルの構造定数をどのように予測するか？
• RQ5 チェーンソークイバーは、表面オペレーター境界条件を満たすインスタントンモジュライ空間を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 2次元 $\mathcal{N}=(2,2)^*$ 非線形シグマモデルの $T^*\mathrm{Fl}(\vec{d})$ 上のヴォルテックス分離関数は、等化パラメータおよび質量パラメータの Pochhammer 記号を含む contour 積分表現で与えられる。
• $T^*\mathbb{P}^{N-1}$ の $J$-関数は明示的に計算され、$J[T^*\mathbb{P}^{N-1}] = \sum_k z^k \frac{(\hbar^{-1}H - \hbar^{-1}m)^N_k}{(1 + \hbar^{-1}H)^N_k}$ と表され、量子微分方程式 $[(z\partial_z)^N - z(z\partial_z - \hbar^{-1}m)^N]J = 0$ を満たす。
• $T^*\mathrm{Gr}(r,N)$ の $J$-関数は、$r$ 個の $T^*\mathbb{P}^{N-1}$ の $J$-関数の積に、微分作用素および $m$ を含む補正因子を適用することで導出される。
• Hori と Vafa の予想は、$J[T^*\mathrm{Gr}(r,N)] = \prod_{s<t} \frac{z_s\partial_{z_s} - z_t\partial_{z_t}}{\hbar^{-1}H_s - \hbar^{-1}H_t} \left[ \frac{z_s\partial_{z_s} - z_t\partial_{z_t} + 1 + \hbar^{-1}m}{\hbar^{-1}H_s - \hbar^{-1}H_t + 1 + \hbar^{-1}m} \right]^{-1} J[\mathbb{T}^*\mathbb{P}](z_1,\dots,z_r)\big|_{z_s = z}$ を示すことにより証明された。
• $T^*\mathrm{Gr}(r,N)$ の $J$-関数が、$T^*\mathbb{P}^{N-1}$ の $J$-関数の $r$ 重ウェッジ積に一致することが示され、Galkin と Ueda の最近の結果を確認した。
• $\mathrm{SL}(N,\mathbb{R})$ WZNWモデルに半分分離した場が存在する場合の構造定数が、4次元 $υ=2^*$ ゲージ理論に完全な表面オペレーターを導入した場合の1ループ行列式から、AGT関係を介して予測された。