[論文レビュー] Gluing maps and cobordism maps for sutured monopole Floer homology

Zhenkun Li|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、sutured monopole Floer homology に対して明確に定義された接合写像およびcobordism写像を構成し、それらの関手的性質と単位を除く不変性を確立する。これらの構成をsutured instanton Floer homology に拡張し、接合写像がハンドル分解の選び方に依存しないこと、および接触不変量を接合を用いた新しい定義により与えることを示し、これが既存の定義と同値であることを証明する。

ABSTRACT

In this paper we construct gluing maps and cobordism maps for sutured monopole Floer homology.

研究の動機と目的

• sutured monopole Floer homology の自然性を、well-defined なcobordism写像の構成によって確立すること。
• sutured monopole Floer homology に対して、関手的かつ同相型および合成に関して不変である接合写像を定義し、それらを研究すること。
• これらの構成をsutured instanton Floer homology に拡張し、同様の関手的性質を証明すること。
• sutured instanton homology における接触不変量について、接合に基づく新しい定義を提供すること。
• ハンドル分解の独立性およびcobordism写像の双対性に関する予想を確認すること。

提案手法

• sutured多様体間のcobordism 上の接触構造を用いて、ハンドル接合写像を構成する。
• 境界が凸で、除く集合が指定された接合領域上の接触構造を用いて、sutured monopole Floer homology に対する接合写像を定義する。
• 合成および同相型に関して接合写像の関手的性質を証明し、微分同相写像と整合することを示す。
• 接触構造を備えたsutured cobordism に対して、sutured monopole Floer homology に関連するcobordism写像を導入する。
• 同様の枠組みをsutured instanton Floer homology に適用し、マーク付き奇数クロージャーおよびホロノミー作用素の一般固有空間を用いる。
• sutured instanton homology における接触不変量を、ダーブォー球からの接合写像の下での生成元の像として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 sutured monopole Floer homology における接合写像は、単位を除いてwell-defined かつ関手的か？
• RQ2 sutured monopole Floer homology に対して、関手的性質および双対性を満たすcobordism写像を構成できるか？
• RQ3 sutured instanton Floer homology における接合写像は、ハンドル分解の選び方に依存しないか？
• RQ4 ダーブォー球からの接合を用いた接触不変量の新しい定義は、元の定義と一致するか？
• RQ5 古典的instanton Floer homology における接触元は、この接合手続きを用いて再構成可能か？

主な発見

• sutured monopole Floer homology における接合写像 $\Phi_\xi$ は、単位を除いてwell-defined であり、合成および同相型に関して不変性を満たす。
• sutured monopole Floer homology におけるcobordism写像 $\underline{\rm SHM}(\mathcal{W})$ は、単位を除いてwell-defined であり、合成に関して関手的で、自然なペアリングに関して双対性を満たす。
• sutured instanton Floer homology における接合写像は、ハンドル分解の選び方に依存せず、[3] の予想1.8を確認する。
• ダーブォー球からの接合を用いた接触不変量の新しい定義により得られるクラス $\phi(M,\gamma,\xi) = \Phi_\xi(1)$ は、元の接触不変量と同値である。
• 接合を用いて定義された接触不変量は、接合写像によって保存され、接触接合操作に関して不変であることが確認される。
• この構成はsutured instanton Floer homology に拡張され、well-defined な写像を持つ $\mathbb{C}$-加群の射影的トランジティブ系が得られる。