[論文レビュー] Graph States, Pivot Minor, and Universality of (X,Z)-measurements

Mehdi Mhalla, Simon Perdrix|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 44被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、量子情報的手法を用いて、任意のグラフが平面的グラフ（具体的には三角格子）のピボットマイナーであることを確立している。さらに、三角格子グラフ状態における（X,Z）基底測定のみを用いた1ウェイ量子計算がユニバーサルであることを証明し、最小限の測定基底でユニバーサル量子計算が可能であることを示しており、物理的実装およびグラフ理論的ユニバーサリティに影響を与える。

ABSTRACT

The graph state formalism offers strong connections between quantum information processing and graph theory. Exploring these connections, first we show that any graph is a pivot-minor of a planar graph, and even a pivot minor of a triangular grid. Then, we prove that the application of measurements in the (X,Z)-plane over graph states represented by triangular grids is a universal measurement-based model of quantum computation. These two results are in fact two sides of the same coin, the proof of which is a combination of graph theoretical and quantum information techniques.

研究の動機と目的

• グラフ状態を用いて、量子測定ベース量子計算とグラフ理論の深い関係を確立すること。
• 任意のグラフが平面的グラフ、特に三角格子のピボットマイナーとして得られることを示すこと。
• 三角格子グラフ状態における（X,Z）基底測定のみを用いた1ウェイ量子計算がユニバーサルであることを証明すること。
• 量子情報的手法が、ピボットマイナーのユニバーサリティのような非自明な古典的グラフ理論的結果を導くことができることを示すこと。
• 物理的リソースの要件を最小限に抑えるために、ユニバーサリティを達成するのに1つの測定平面で十分であることを示し、以前のモデルが複数の基底を必要としていたのを改善すること。

提案手法

• エンタングルド量子状態をグラフとして表現するグラフ状態形式を用い、組み合わせ的解析を可能にする。
• ピボット操作（エッジ上の局所補完の系列）を適用してグラフを変換し、ピボットマイナーを導出する。
• 符号付きグラフ状態を導入して形式を拡張し、測定に起因する変換を分析する。
• X測定およびZ測定が符号付きグラフ状態に与える影響を、局所補完を含むグラフ操作によって特徴付ける。
• 量子回路の等価性およびユニタリ回転技術を用いて、（X,Z）測定での（X,Y）測定のシミュレーションが可能であることを示す。
• 局所補完およびピボットマイナー関係の不変性を活用し、グラフ理論的閉包性を用いてユニバーサリティを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限グラフは平面的グラフのピボットマイナーとして実現可能であり、そのような平面的グラフのクラスは何か？
• RQ2 正則なグラフ状態において、1キュービット測定を（X,Z）測定平面でのみ用いることで、ユニバーサル量子計算を達成できるか？
• RQ3 量子情報的手法を用いて、ピボットマイナー埋め込みのような非自明な古典的グラフ理論的結果を証明できるか？
• RQ4 なぜ三角格子は、測定ベース量子計算の文脈において、長方形格子やヘキサゴナル格子よりも優れているのか？
• RQ5 1ウェイ量子計算モデルでユニバーサリティを達成するために必要な最小の測定基底の集合は何か？

主な発見

• 任意の有限グラフは、元のグラフの頂点数をnとしてO(n⁴)のサイズで、三角格子のピボットマイナーである。
• 三角格子グラフ状態における（X,Z）基底測定の適用は、1ウェイ量子計算においてユニバーサルであり、任意の実ユニタリ変換をシミュレート可能である。
• ピボットマイナーのユニバーサリティの証明は量子的議論に依存しており、量子情報的手法が非自明な古典的グラフ理論的結果を導くことができることを示している。
• 三角格子は、（X,Z）測定のみを用いても、測定ベース量子計算のユニバーサルリソースであるが、長方形格子やヘキサゴナル格子はそうではない。これは、それらが双対的構造を持つためである。
• （X,Z）測定を用いたP(α)ゲートのシミュレーションは、局所補完およびユニタリ回転を用いて達成され、（X,Y）測定プロトコルと等価であることが示された。
• 双対的グラフのピボットマイナーは双対的であるため、三角形のような非双対的グラフは長方形格子やヘキサゴナル格子のピボットマイナーにはなり得ず、この文脈での限界が証明された。