[論文レビュー] Grothendieck Duality for Deligne-Mumford Stacks

Fabio Nironi|ArXiv.org|Nov 12, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 39

ひとこと要約

この論文は、分離的準同型とアフィン対角を持つ代数的スタックに対してグロテンディーク双対性を確立し、特にコンパクトなデリーニュ＝ムーディー・スタックに焦点を当てる。代数閉体上での滑らかで固有なスタックに対してセール双対性を証明し、ねじれのあるノード曲線の双対化複体を明示的に計算し、それがモジュライ空間の双対化層の引き戻しに加え、ルート構成によるオルビフォールド点からの寄与を含むことを示す。

ABSTRACT

We prove the existence of the dualizing functor for a separated morphism of algebraic stacks with affine diagonal; then we explicitly develop duality for compact Deligne-Mumford stacks focusing in particular on the morphism from a stack to its coarse moduli space and on representable morphisms. We explicitly compute the dualizing complex for a smooth stack over an algebraically closed field and prove that Serre duality holds for smooth compact Deligne-Mumford stacks in its usual form. We prove also that a proper Cohen-Macaulay stack has a dualizing sheaf and it is an invertible sheaf when it is Gorenstein. As an application of this general machinery we compute the dualizing sheaf of a tame nodal curve.

研究の動機と目的

• ネーマンの抽象的双対性理論を用いて、アフィン対角を持つ代数的スタックの分離的準同型に対して双対関手の存在を確立する。
• 特にスタックの粗いモジュライ空間や表現可能な準同型に対して、コンパクトなデリーニュ＝ムーディー・スタックの明示的双対性理論を構築する。
• 代数閉体上での滑らかで固有なスタックに対して双対化複体を計算し、古典的形でのセール双対性が成り立つことを証明する。
• タームなノード曲線および局所完備交差スタックの双対化層を特定し、接続複体を介してスキーム的期待と一致することを示す。
• 一般理論を応用して、タームなノード曲線の双対化層を計算し、特に重み付き射影スタックにおいて、オルビフォールド点からの寄与をルート構成を用いて取り入れる。

提案手法

• アフィン対角を持つスタック上の準連接層の導来圏において、ネーマンの技法を用いて双対関手の存在を証明する。
• 複体の圏における代表可能性定理を適用し、導来押し出しの右随伴を構成することで、$D^+( ext{QCoh}( ext{Stack}))$ における双対性を可能にする。
• 双対性が平坦基底変換と整合することを証明し、エタール局所的性質を確立し、デリーニュ＝ムーディー・スタックに対してヴェルディエの結果を回復する。
• 標準バンドル $ ext{K}_{ ext{X}}$ と $ ext{Ext}^{ullet}_{ ext{Y}}( ext{O}_{ ext{X}}, ext{K}_{ ext{Y}})$ の構成を用いて、滑らかで固有なスタック $ ext{Y}$ の閉部分スタックの双対化複体を計算する。
• ルート構成とグローバル商表現を用いて、特に重み付き射影スタックにおいて、タームなノード曲線の双対化層を計算する。
• 一般双対性理論を適用し、局所完備交差スタックに対して、双対化複体が接続複体の行列式を次元分シフトしたものに一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロテンディーク双対性は、$ ext{π}$-非常に豊かなバンドルが存在しない状況下でも、デリーニュ＝ムーディー・スタックへ拡張可能か？
• RQ2 抽象的双対性理論を用いて、代数閉体上での滑らかで固有なデリーニュ＝ムーディー・スタックに対してセール双対性を確立できるか？
• RQ3 タームなノード曲線の明示的双対化層の形は何か？また、オルビフォールド点はその構造にどのように寄与するか？
• RQ4 デリーニュ＝ムーディー・スタックにおいて、双対化複体は平坦基底変換とどのように整合するか？
• RQ5 局所完備交差デリーニュ＝ムーディー・スタックの双対化層は、次元分シフトされた接続複体の行列式で与えられるか？

主な発見

• 代数閉体上での滑らかで固有なデリーニュ＝ムーディー・スタックの双対化複体は、スタックの次元分シフトされた標準バンドルと同型である。
• 滑らかで固有なスタック $ ext{Y}$ における閉埋め込み $i: ext{X} o ext{Y}$ に対して、$ ext{X}$ の双対化複体は $\mathcal{E}\!\mathpzc{xt}^\bullet_{\text{Y}}(\mathcal{O}_{\text{X}}, \omega_{\text{Y}})$ に一致する。$ ext{X}$ がコhen-Macaulay であれば、これは準連接層である。
• 固有でコhen-Macaulay なスタックがゴレンシュタインであれば、その双対化層は可逆層である。
• タームなノード曲線 $ ext{C}$ に対して、双対化層は $ ext{O}_{\text{C}}(-a)$ に一致する。ここで $a$ はノードにおける安定化子の位数であり、これはモジュライ空間の双対化層の引き戻しにオルビフォールド点からの補正を加えたものと一致する。
• 局所完備交差デリーニュ＝ムーディー・スタックの双対化層は、$\det(\Omega_{\text{X}}^1)[\dim \text{X}]$ と同型であり、スキーム的状況と一致する。
• 重み付き射影空間 $\mathbb{P}(1,1,3)$ にバランスの取れた連結ノードとしてコンパクト化された、非特異なノード曲線の双対化層は $\mathcal{O}_{\mathcal{C}}(-3)$ に一致し、定理3.8および定理3.1と整合的である。