[論文レビュー] Ground states of nonlinear Schrödinger equations with sum of periodic and inverse-square potentials

Qianqiao Guo, Jarosław Mederski|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^N$ ($N \geq 3$) 上で周期的および逆二乗型ポテンシャルの和を伴う非線形シュレーディンガー方程式に対して、$0$ が $-\Delta + V$ のスペクトルに含まれず、$\mu < \frac{(N-2)^2}{4}$ である条件の下で、基底状態解の存在を確立する。ネハリ＝パーンコフ多様体上の変分法を用いて、十分に小さい $\mu \geq 0$ に対して、エネルギー汎関数の最小化子として基底状態解が存在することを示す。一方、$\mu < 0$ で $0$ が $-\Delta + V$ のスペクトルより下にある場合には、このような解は存在しない。

ABSTRACT

We study the existence of solutions of the following nonlinear Schrödinger equation \begin{equation*} -Δu + \Big(V(x)-\fracμ{|x|^2}\Big) u = f(x,u) \hbox{ for } x\in\mathbb{R}^N\setminus\{0\}, \end{equation*} where $V:\mathbb{R}^N o\mathbb{R}$ and $f:\mathrm{R}^N imes\mathbb{R} o\mathbb{R}$ are periodic in $x\in\mathbb{R}$. We assume that $0$ does not lie in the spectrum of $-Δ+V$ and $μ

研究の動機と目的

• 非線形シュレーディンガー方程式に周期的および逆二乗型ポテンシャルを組み合わせた場合、$\mathbb{R}^N$ ($N \geq 3$) 上で基底状態解の存在を確立すること。
• 逆二乗型ポテンシャル $-\mu/|x|^2$ が周期的 $V$ と併存する場合に生じる強発散的エネルギー汎関数の挑戦に取り組むこと。
• 十分に小さい $\mu \geq 0$ で $0 \notin \sigma(-\Delta + V)$ であるとき、基底状態解がネハリ＝パーンコフ多様体上でのエネルギー汎関数の最小化子として存在することを証明すること。
• $\mu < 0$ で $0$ が $-\Delta + V$ のスペクトルより下にある場合、基底状態解が存在しないことを示すこと。
• 逆二乗型ポテンシャルが下位の摂動構造を持たないという点を補うために、スペクトル分解を用いた精密な集中・緊密化の議論を用いること。

提案手法

• エネルギー汎関数 $\mathcal{J}_\mu(u)$ は $H^1(\mathbb{R}^N)$ 上で定義され、運動エネルギー、ポテンシャルエネルギー $V(x) - \mu/|x|^2$、非線形項 $F(x,u)$ を含む。
• スペクトル分解 $X = X^+ \oplus X^-$ が用いられ、$B_0(\cdot, \cdot)$ が $X^+$ 上で正定値、$X^-$ 上で負定値となるように定義され、問題の強発散的性質を反映する。
• エネルギー汎関数の最小化に自然な制約としてネハリ＝パーンコフ多様体が用いられ、臨界点が解に対応することを保証する。
• 弱収束における消え去りと二分の現象を取り扱うために、集中・緊密化の議論が適用され、平行移動を用いて非自明な弱極限を抽出する。
• エネルギー汎関数の $L^2$-ノルムの弱下半連続性と、$H^1$ での有界性の仮定の下で、$u_n$ が $L^p_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N)$ で強く収束し、ほとんど everywhere で点wise 収束することに依拠する。
• 任意の非自明な $\mathcal{J}_0$ の臨界点の $H^1$-ノルムに一様な下界 $\rho_0 > 0$ が存在することにより、集中・緊密化の反復手続きが有限ステップで終了することが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的および逆二乗型ポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式が、どのような条件下で基底状態解を有するか。
• RQ2 双一次形式が強発散的である場合、自然な制約上でのエネルギー汎関数の最小化として基底状態解を構成できるか。
• RQ3 $\mu < 0$ で $0$ が $-\Delta + V$ のスペクトルより下にある場合、基底状態の存在にどのような影響を与えるか。
• RQ4 特異的逆二乗型ポテンシャル $-\mu/|x|^2$ が、標準的な下位摂動と比較して、問題の変分的構造にどのような影響を与えるか。
• RQ5 スペクトルギャップ条件 $0 \notin \sigma(-\Delta + V)$ が、非自明な解の存在を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• 十分に小さい $\mu \geq 0$ に対して、エネルギー汎関数 $\mathcal{J}_\mu$ がネハリ＝パーンコフ多様体上で最小化され、その最小化子として基底状態解が存在する。
• $\mu < 0$ で $0$ が $-\Delta + V$ のスペクトルより下にある場合、基底状態解は存在しない。
• エネルギー汎関数 $\mathcal{J}_\mu$ は $H^1(\mathbb{R}^N)$ 上で $C^1$ 級であり、その臨界点は方程式の弱解に対応する。
• 任意の非自明な $\mathcal{J}_0$ の臨界点の $H^1$-ノルムに一様な下界 $\rho_0 > 0$ が存在し、集中・緊密化の反復手続きが有限ステップで終了することが保証される。
• 集中・緊密化法により、逆二乗型ポテンシャルがカト級に属さない場合でも、平行移動を用いて非自明な弱極限を効果的に抽出できた。
• 存在結果は、超線形かつサブ臨界的成長条件 (F2)–(F4) および弱単調性条件 (F5) の下で成り立つが、これらは標準的なアムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件よりも弱い。