[论文解读] Group algebras and semigroup algebras defined by permutation relations of fixed length

Ferran Cedó, Eric Jespers+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用 1

一句话总结

本文研究了由长度固定为 l ≥ 2 的置换关系定义的群代数与半群代数，其中关系通过 Symn 的子群 H 置换 l 个生成元的乘积。证明了其普遍群 G 具有有限指数的自由子群，且在任意域 K 下，群代数 K[G] 的 Jacobson 平坦根为幂零，且在特定条件下为半单代数。当 H 为阿贝尔群且半正则时，半群代数 K[S] 的平坦根也为幂零，且给出了幂零指数的界以及在特征条件下的平坦根消失情况。

ABSTRACT

Let $H$ be a subgroup of $ ext{Sym}_n$, the symmetric group of degree $n$. For a fixed integer $l \geq 2$, the group $G$ presented with generators $x_1, x_2, \ldots ,x_n$ and with relations $x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_l} =x_{\sigma (i_1)} x_{\sigma (i_2)} \cdots x_{\sigma (i_l)}$, where $\sigma$ runs through $H$, is considered. It is shown that $G$ has a free subgroup of finite index. For a field $K$, properties of the algebra $K[G]$ are derived. In particular, the Jacobson radical $\mathcal{J}(K[G])$ is always nilpotent, and in many cases the algebra $K[G]$ is semiprimitive. Results on the growth and the Gelfand-Kirillov dimension of $K[G]$ are given. Further properties of the semigroup $S$ and the semigroup algebra $K[S]$ with the same presentation are obtained, in case $S$ is cancellative. The Jacobson radical is nilpotent in this case as well, and sufficient conditions for the algebra to be semiprimitive are given.

研究动机与目标

• 分析由固定长度 l ≥ 2 的齐次置换关系定义的群代数 K[G] 与半群代数 K[S] 的结构。
• 确定 Jacobson 平坦根 J(K[G]) 与 J(K[S]) 为幂零，以及其消失的条件。
• 建立 K[G] 与 K[S] 为半单代数（即 J = 0）的条件，尤其关注子群 H ⊆ Symn 与域特征的关系。
• 计算 K[G] 与 K[S] 的增长性与 Gelfand-Kirillov 维数，特别是在 H 为可迁或 H 为阿贝尔且半正则时的情形。

提出的方法

• 利用群论技巧证明普遍群 G = Gn,l(H) 具有有限指数的自由子群，基于 H 在 {1, ..., n} 上的轨道分解。
• 应用 K[G] 与 K[S] 的 G/M-分次结构，其中 M 是 G 的有限指数正规自由子群。
• 利用当 H 为阿贝尔且半正则时，K[S] 是 K[G] 的齐次子环这一事实，实现平坦根性质的传递。
• 运用引理 4.2 证明：自由幺半群的任意右可逆子幺半群必包含于某个循环群中，用于分析 S 的子幺半群 P 的 J(K[P])。
• 利用 Maschke 定理与群环理论证明：当 char(K) = 0 或 char(K) ∤ |G/M| 时，J(K[Q]) = 0，若假设 J(K[S]) ≠ 0 则导致矛盾。
• 利用次数论证与共轭作用证明：某些幺半群在它们的分式群中生成阿贝尔且中心化的子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 H ⊆ Symn 满足何种条件时，群代数 K[G] 的 Jacobson 平坦根 J(K[G]) 为幂零？
• RQ2 在何种条件下群代数 K[G] 为半单代数（即 J(K[G]) = 0），尤其与 H 的可迁性与阿贝尔性相关时？
• RQ3 当 H 可迁时，K[G] 的 Gelfand-Kirillov 维数为何？其与经典 Krull 维数有何关系？
• RQ4 当 H 为阿贝尔且半正则时，半群 S = Sn,l(H) 的结构如何影响 J(K[S]) 的幂零性与消失性？
• RQ5 J(K[S]) 的幂零指数能否被界定？群 G/M 在此界中起何种作用？

主要发现

• 对任意子群 H ≤ Symn，普遍群 G = Gn,l(H) 具有有限指数的自由子群，其自由子群的秩等于 H 在 {1, ..., n} 上的轨道数。
• Jacobson 平坦根 J(K[G]) 恒为幂零；若 H 可迁，则 K[G] 为 Noetherian PI-代数，且 GKdim(K[G]) = 1，clKdim(K[G]) = 1。
• 若 H 为阿贝尔且半正则，则 J(K[S]) 为幂零，其幂零指数至多为 |G/M|²，其中 M 是 G 的有限指数正规自由子群。
• 当 char(K) = 0 或 char(K) = p 且 p ∤ |G/M| 时，有 J(K[S]) = 0 且 J(K[G]) = 0，意味着 K[S] 与 K[G] 均为半单代数。
• 当 H 不可迁时，K[G] 具有指数增长，原因在于存在秩为 2 的自由子群。
• 半群 S = Sn,l(H) 为可约去当且仅当 H 为阿贝尔且半正则，此时 S 嵌入于 G 中。