[论文解读] Group-Harmonic and Group-Closeness Maximization -- Approximation and Engineering

Eugenio Angriman, Ruben Becker+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 29被引用 7

一句话总结

本文研究了在网络中识别中心节点组的群谐和与群接近度最大化问题，提出了近似算法及高效实现方法。研究建立了理论极限——证明了问题的NP难性及近似界，并通过实验表明，局部搜索启发式算法在大规模或复杂网络中能获得接近最优的解，且性能更优。

ABSTRACT

Centrality measures characterize important nodes in networks. Efficiently computing such nodes has received a lot of attention. When considering the generalization of computing central groups of nodes, challenging optimization problems occur. In this work, we study two such problems, group-harmonic maximization and group-closeness maximization both from a theoretical and from an algorithm engineering perspective. On the theoretical side, we obtain the following results. For group-harmonic maximization, unless $P=NP$, there is no polynomial-time algorithm that achieves an approximation factor better than $1-1/e$ (directed) and $1-1/(4e)$ (undirected), even for unweighted graphs. On the positive side, we show that a greedy algorithm achieves an approximation factor of $\\lambda(1-2/e)$ (directed) and $\\lambda(1-1/e)/2$ (undirected), where $\\lambda$ is the ratio of minimal and maximal edge weights. For group-closeness maximization, the undirected case is $NP$-hard to be approximated to within a factor better than $1-1/(e+1)$ and a constant approximation factor is achieved by a local-search algorithm. For the directed case, however, we show that, for any $\\epsilon<1/2$, the problem is $NP$-hard to be approximated within a factor of $4|V|^{-\\epsilon}$. From the algorithm engineering perspective, we provide efficient implementations of the above greedy and local search algorithms. In our experimental study we show that, on small instances where an optimum solution can be computed in reasonable time, the quality of both the greedy and the local search algorithms come very close to the optimum. On larger instances, our local search algorithms yield results with superior quality compared to existing greedy and local search solutions, at the cost of additional running time. We thus advocate local search for scenarios where solution quality is of highest concern.

研究动机与目标

• 为解决识别最大化群谐和与群接近度中心性的k个节点组的理论与实际挑战。
• 填补对群接近度最大化近似可计算性理解的空白，特别是在先前缺乏近似保证的有向图中。
• 开发并评估高效算法实现，其在解的质量与可扩展性方面优于现有的贪心算法与局部搜索方法。
• 为两个问题提供理论近似界，包括难解性结果与可达到的近似因子。
• 通过实证验证，局部搜索算法在真实世界与合成网络中，即使在有向图与高直径图等困难情况下，也能获得接近最优的解。

提出的方法

• 针对群谐和最大化，本文分析了一种贪心算法，并证明其在有向图中可达到 λ(1−2/e) 的近似因子，在无向图中可达到 λ(1−1/e)/2，其中 λ 为最小与最大边权之比。
• 针对群接近度最大化，本文证明无向图情形可通过局部搜索算法实现常数因子近似，而有向图情形在任意 ε < 1/2 下，近似困难度达到 |V|^{-ε}。
• 作者实现了一种局部搜索启发式算法（GS-LS-C），通过迭代地将节点加入或移出当前组，依据目标函数的边际增益进行优化。
• 以贪心算法（Greedy-C）作为基线，通过逐步添加群中心性边际增益最高的节点。
• 提出一种混合局部搜索变体（Greedy-LS-C），从贪心解出发，通过迭代局部移动进一步优化。
• 对局部搜索算法应用并行化处理，利用节点组内交换操作的高度并行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 群谐和最大化问题的最佳可能近似比是多少？是否存在多项式时间算法可达到该比值？
• RQ2 无向图中的群接近度最大化是否可实现常数因子近似？最佳可达到的近似比是多少？
• RQ3 有向图中群接近度最大化的困难程度如何？是否可实现任何非平凡的近似？
• RQ4 局部搜索启发式算法是否能在解的质量上超越贪心算法，特别是在大规模或复杂网络中？
• RQ5 局部搜索在并行环境中的性能表现如何？其在各类图类型中是否能保持高质量解？

主要发现

• 无向图群谐和最大化问题的近似难解性为 1−1/(4e)，贪心算法可达到 λ(1−1/e)/2 的近似因子。
• 有向图群谐和最大化问题的难解性为 1−1/e，贪心算法可达到 λ(1−2/e)，表明边权变化与近似质量之间存在权衡。
• 无向图中群接近度最大化可通过局部搜索实现常数因子近似，理论下界为 1−1/(e+1)。
• 在有向图中，群接近度最大化在任意 ε < 1/2 下，近似困难度达到 4|V|^{-ε}，表明其具有极强的不可近似性。
• 在可计算最优解的小规模实例中，Greedy-LS-C 与 GS-LS-C 分别达到最优解的 98.66% 和 98.50%。
• 在大规模实例中，Greedy-LS-C 与 GS-LS-C 在解质量上持续优于 Greedy-C 与 GS，其中小群规模下 Greedy-LS-C 更快，大群规模下则反之。