[論文レビュー] Groupoids in categories with pretopology

Ralf Meyer, Chenchang Zhu|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 33被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、前トポスを備えた圏における群コホモ論、群コホモ論作用、および主バンドルの統一的枠組みを構築する。Hilsum–Skandalis写像やアナファンクターの一般化を含み、局所化された関手の2通りのアプローチ（スパンによるアナファンクターと双バンドルによるHilsum–Skandalis写像）の同値性を確立し、幾何的および無限次元的状況におけるモラータ同値性を明確にするために「基本的作用」と「アクター」の新概念を導入する。

ABSTRACT

We survey the general theory of groupoids, groupoid actions, groupoid principal bundles, and various kinds of morphisms between groupoids in the framework of categories with pretopology. We study extra assumptions on pretopologies that are needed for this theory. We check these extra assumptions in several categories with pretopologies. Functors between groupoids may be localised at equivalences in two ways. One uses spans of functors, the other bibundles (commuting actions) of groupoids. We show that both approaches give equivalent bicategories. Another type of groupoid morphisms, called actors, are closely related to functors between the categories of groupoid actions. We also generalise actors using bibundles, and show that this gives another bicategory of groupoids.

研究の動機と目的

• 任意の前トポスを備えた圏における群コホモ論、作用、および主バンドルの理論を一般化し、位相的および滑らかな圏における既知の結果を拡張すること。
• 関手、アナファンクター、双バンドル関手、およびアクターといった群コホモ論写像の異なる概念の関係を、適切な条件下で2-圏的同値性を示すことにより明確化すること。
• 「基本的作用」と「基本的群コホモ論」の概念を導入・研究し、幾何的圏における主群コホモ論作用の新たな特徴付けを提供すること。
• 特に無限次元的および非ハウスドルフ的状況において、モラータ同値性がうまく働く条件を調査し、二重商トポスにおける障害を同定すること。
• アナファンクターの2-圏と双バンドル関手の2-圏が同値であり、アナ同型と双バンドル同値が一致することを確立することで、群コホモ論写像の2つの主要なアプローチを統合すること。

提案手法

• 前トポスを備えた圏における群コホモ論の一般理論を構築し、前トポスにおける被覆である出発および終端写像によって定義する。
• 等価の局所化としての「アナファンクター」（関手のスパン）と、空間上の群コホモ論作用の可換性に基づく「双バンドル関手」（両側バンドル関手）を導入し、両者ともHilsum–Skandalis写像を一般化する。
• スパンから双バンドル、およびその逆への写像を構成することで、アナファンクターの2-圏と双バンドル関手の2-圏が同値であることを証明する。
• 群コホモ論作用の圏を保存する関手としての「アクター」を定義し、双バンドルを用いてそれらを「双バンドルアクター」に一般化し、標準的アクター構成と同値であることを示す。
• 「チエチ群コホモ論」と「基本的作用」の概念を用いて主バンドルを特徴付け、このような作用が射影が全射部分埋め込みである主バンドルと同値であることを証明する。
• 本理論を位相空間、多様体（有限次元および無限次元）のカテゴリに適用し、局所凸多様体において被覆を全射部分埋め込みとしてとると、構成が有効であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような前トポスの条件下で、アナファンクターの2-圏と双バンドル関手の2-圏が同値になるか？
• RQ2 群コホモ論作用が「基本的」であるとは、すなわち主バンドルと同値であるとは、どのような条件か？特に無限次元的または非ハウスドルフ的状況において。
• RQ3 二重商写像の標準トポスである前トポスにおいて、群コホモ論のモラータ同値性が同値関係の性質を保つのか？
• RQ4 双バンドルを用いて「アクター」の概念を一般化することで、標準的アクター圏と同値な2-圏を得られるか？
• RQ5 群コホモ論作用が前トポスの意味で局所的に自明であるための必要十分条件は何か？また、これは局所的セクションの存在とどのように関係するか？

主な発見

• 被覆が全射部分埋め込みである前トポスを備えた圏（例えば有限次元および無限次元多様体）において、アナファンクターの2-圏と双バンドル関手の2-圏は同値である。
• アナファンクター同型と双バンドル同値が一致し、異なる形式論におけるモラータ同値性の統一的定義が得られる。
• 局所凸多様体において被覆を全射部分埋め込みとしてとると、群コホモ論作用および主バンドルの理論はうまく働くが、被覆を備えた双バンドル関手や双バンドルアクターにはより強い仮定が必要となる。
• ハウスドルフ位相空間のカテゴリにおいて二重商前トポスを用いるとき、同値な群コホモ論は作用の圏が同値でないことがあるため、モラータ同値性が同値関係とならない可能性がある。
• 有限次元およびヒルベルト多様体において、群コホモ論作用が基本的（すなわち主バンドルを誘導する）であるための必要十分条件は、自由かつ適切であることだが、バナッハ多様体および局所凸多様体では補完可能な部分空間の欠如によりこの性質は成立しない。
• 基本的作用の軌道空間には、商写像が全射部分埋め込みとなるような一意な滑らかな多様体構造が誘導され、作用は前トポスの意味で局所的に自明である。