[論文レビュー] Hadamard states for the Klein-Gordon equation on Lorentzian manifolds of bounded geometry

Christian Gérard, Oulghazi, Omar+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2016

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ひとこと要約

本稿では、有界幾何のローレンツ多様体（Kerr や Kerr-de Sitter 时空を含む）上でのクライン=ゴーレン方程式に対して、時間に依存する擬微分作用素の計算を用いて、純粋で正則なハダマール状態を構成する。主な結果は、時空計量とハダマール状態の選択を両方とも符号化する、一パラメータ族の楕円的擬微分作用素である。

ABSTRACT

We consider the Klein-Gordon equation on a class of Lorentzian manifolds with Cauchy surface of bounded geometry, which is shown to include examples such as exterior Kerr, Kerr-de Sitter and Kerr-Kruskal spacetimes. In this setup, we give an approximate diagonalization and a microlocal decomposition of the Cauchy evolution using a time-dependent version of the pseu-dodifferential calculus on Riemannian manifolds of bounded geometry. We apply this result to construct all pure regular Hadamard states (and associated Feynman inverses), where regular refers to the state's two-point function having Cauchy data given by pseudodifferential operators. This allows us to conclude that there is a one-parameter family of elliptic pseudodifferential operators that encodes both the choice of (pure, regular) Hadamard state and the underlying spacetime metric.

研究の動機と目的

• 先行手法ではカバーされていないが、物理的に重要な時空（Kerr や Kerr-de Sitter など）にまで、ハダマール状態の厳密な構成を拡張すること。
• リーマン多様体の有界幾何に適応した時間に依存する擬微分作用素の計算を構築し、クライン=ゴーレン作用素のコーシー発展を解析すること。
• 時空計量と状態の選択を両方符号化する一パラメータ族の楕円的擬微分作用素を用いて、すべての純粋で正則なハダマール状態を特徴付けること。
• コーシー発展の微局所分解を確立し、これによりフェイマンのパラメトリックスと特異構造が指定された2点関数の構成を可能にすること。

提案手法

• 有界幾何のリーマン多様体上での時間に依存する擬微分作用素の計算を、クライン=ゴーレン作用素のコーシー発展に適用する。
• 微局所解析を用いてコーシー発展作用素の近似的な対角化を実行し、前向きおよび後向き伝搬成分に分解する。
• 分解された発展を用いて、フェイマンのパラメトリックスをクライン=ゴーレン作用素の微局所的逆作用素として構成する。
• フェイマンのパラメトリックスのコーシー・データを用いてハダマール状態の2点関数を定義し、所望の特異構造を満たすようにする。
• 2点関数のコーシー・データが擬微分作用素によって与えられることを要件として、正則なハダマール状態を特徴付ける。
• 状態と計量の完全な情報が、一パラメータ族の楕円的擬微分作用素に同時に符号化されていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クライン=ゴーレン方程式に対して、Kerr や Kerr-de Sitter 时空を含む有界幾何のローレンツ多様体上での純粋で正則なハダマール状態を体系的に構成可能か？
• RQ2 このような多様体上でのクライン=ゴーレン作用素のコーシー発展に適用可能な、時間に依存する擬微分作用素の計算をどのように構築し、適用できるか？
• RQ3 この設定下でのフェイマンのパラメトリックスおよび2点関数の正確な微局所的構造は何か？
• RQ4 ハダマール状態の選択とそれに対応する時空計量を、1つの楕円的擬微分作用素族に同時に符号化できる範囲はどの程度か？
• RQ5 擬微分作用素のコーシー・データによって定義される状態が、純粋かつハダマール条件を満たすために必要な条件は何か？

主な発見

• 著者らは、有界幾何のローレンツ多様体（外部 Kerr や Kerr-de Sitter 时空を含む）上でのクライン=ゴーレン方程式に対して、すべての純粋で正則なハダマール状態を構成した。
• 有界幾何の多様体上での時間に依存する擬微分作用素の計算により、コーシー発展の微局所的分解が可能となり、近似的な対角化が達成された。
• フェイマンのパラメトリックスは、分解された発展を用いてクライン=ゴーレン作用素の微局所的逆作用素として構成され、特異構造が制御された。
• 任意の純粋で正則なハダマール状態の2点関数のコーシー・データは、擬微分作用素によって与えられ、正則性および微局所的適正性が保証された。
• 時空計量と（純粋で正則な）ハダマール状態の選択を同時に符号化する一パラメータ族の楕円的擬微分作用素が存在する。
• この構成により、正則なハダマール状態が楕円的擬微分作用素データによって完全に特徴付けられ、既知の結果を物理的に重要な広範な時空クラスへ一般化した。