[論文レビュー] Half domination arrangements in regular and semi-regular tessellation type graphs

Eugen J. Ionaşcu|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、平面の正則および準正則タイル張りから導かれる無限で頂点推移的グラフにおける半ドミネーション集合の研究を行う。整数線形計画法および最適化技術を用いて、このような集合の最大密度を計算または上限づけ、六角形および正方形タイル張りでは2/3といった正確な値を同定し、三角形・正方形・六角形の混合配置では19/30といった上限を得た。

ABSTRACT

We study the problem of half-domination sets of vertices in vertex transitive infinite graphs generated by regular or semi-regular tessellations of the plane. In some cases, the results obtained are sharp and in the rest, we show upper bounds for the average densities of vertices in half-domination sets.

研究の動機と目的

• 正則および準正則タイル張りによって生成される無限グラフにおける半ドミネーション集合の最大密度を特定すること。
• 組合せ的および最適化的手法を用いて、そのような集合の漸近的密度に対する鋭い上限または正確な値を確立すること。
• 頂点推移的タイル張りグラフにおける最適配置の存在性および一意性を調査すること。
• 解の不備（deficiency）と異なる最大配置の数との関係を分析すること。
• 今後の研究のため、タイル張り型グラフにおけるk依存問題へのフレームワークの拡張を検討すること。

提案手法

• 各タイルを頂点、共有される辺をグラフの辺として扱うことで、辺同士が接するタイル張りから無限グラフを構築する。
• 整数線形計画法（ILP）を用いて半ドミネーション制約をモデル化：集合内の各頂点が、集合内に高々⌊d(v)/2⌋個の隣接頂点を持つこと。
• 有限部分グラフG_{T,m,n}において周期的境界条件を適用し、m,n → ∞ のときのlimsup密度ρ_Tを近似する。
• 幾何的タイル張りの対称性を、変数x_{i,j,k}（タイルの含む状態を表す）の巡回的インデックス系に翻訳する。
• 局所的な頂点次数および近隣数に基づく制約を用いてILPシステムを構築し、数値解を得るためにLPSolveを用いる。
• 制約を最適化の標準形に変換するため、正規化された変数x = T/(6mn)、y = S/(6mn)、z = H/(6mn)を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則または準正則タイル張りTから導かれる無限グラフにおける半ドミネーション集合の正確な最大密度ρ_Tは何か？
• RQ2 どのタイル張りにおいて半ドミネーション密度が鋭い値（つまり、不備なし）に達し、最適配置が一意的となるか？
• RQ3 最適配置の数と構造は、解の不備（すなわち制約の余剰）とどのように関係するか？
• RQ4 半ドミネーションに用いた手法を、タイル張りグラフにおけるk依存問題に一般化できるか？
• RQ5 (3^4,6)のようなタイル張りにおける半ドミネーション密度の理論的上限は何か？また、それが達成可能か？

主な発見

• 正則タイル張り(4^4)および(6^3)において、半ドミネーション密度ρ_Tは正確に2/3であり、周期的かつ対称的な配置によって達成される。
• 準正則タイル張り(3^4,6)においては、最大密度が19/30 ≈ 0.633に上界づけられており、数値解がこの値に近づいている。
• (3,4,6,4)では密度が3/4、(8^2,4)および(12,6,4)ではそれぞれ3/4および5/6であり、両者とも不備がゼロ。
• (12^2,3)では理論的上限が7/9であるが、最高の既知の配置は3/4にとどまり、その差が示唆される。
• (4,3,3,4,3)では鋭い配置により密度2/3が達成され、(6,3,3,3,3)では以前の推定値5/9を是正し、真の最大値が2/3であることを示した。
• 本稿は、不備がゼロであるグラフにおいて、最適配置はグラフ同型を除き一意的であり、かつ任意の与えられた不備に対して有限個のこのような配置しか存在しないと予想している。